探求“鱼渔欲”三位一体的数学教学

　　古人云：“授人以鱼，不如授之以渔”。陶行知先生也曾指出：“我以为好的先生不是教书，不是教学生，乃是教学生学”。但目前现实中很多数学课堂普遍存在“授人以鱼”，少见“授之以渔”和“授之以欲”。“鱼渔欲”三位一体优化数学教学的理念与策略，是改善这种状况的一个可行途径。“鱼渔欲”三位一体的数学教学指数学教学不仅要授人以“鱼”，更要“授人以渔”和“授人以欲”。其中“鱼”指基础知识与基本技能，“渔”指有效的学习方法和良好的学习习惯，“欲”指积极的情感、良好的态度、求知的兴趣和欲望。如何践行“鱼渔欲”三位一体的数学教学，促使学生学会、会学与乐学？下面以某中学周老师的“变化率问题”教学片断为案例来说明。

　　一、教学片断及评析

　　1.建立模型

　　周老师首先呈现问题情境——某地某年3月份的气温记载（如下图），接着要求学生与同桌讨论以下两个问题：

　　问题1：根据图像，如何用自己的语言描述两个时间段内的气温变化趋势的异同？

　　问题2：如何用符号语言刻画这种变化趋势？

　　然后，在综合学生结果的基础上，引导学生从生活经验的“陡坡”以及学习经验的“斜率”两方面，对气温变化快慢进行理解。引导学生从以下变式问题中抽象出模型。

　　问题3：若把气温C看作时间t的函数，即C=f（t），则t1至t2这段时间内气温的变化率如何表示？

　　问题4：若函数关系为y=f（x），那么当x从x1增加x2到时，其变化率又如何表示？

　　最后，周老师要求学生先独立思考后小组交流讨论，小组代表展示与分享成果。学生通过类比、计算、分析与归纳，最终得出了平均变化率概念。

　　评析：多次观摩“变化率问题”课堂，发现很多教师引入情境后，往往直接告诉学生变化快慢问题即是变化率问题，接着介绍变化率的求法，这种“掐头去尾烧中段”的处理，会让学生觉得变化率是枯燥乏味的“鱼”，难以收获捕获“变化率”这类“鱼”的方法，激发“捕鱼”的欲望。

　　周老师在这里有了新的尝试。一般而言，新知的教学起点源于旧知的逻辑生长点和学生原有的经验生长点。周老师将变化率（旧知生长点）和学生对身边气温变化趋势的体验（经验生长点）融入问题情境中，引出变化率，让学生直观感知这条“新鱼”源于身边的“老鱼”，自然地导出了新知识学习的必要性。一方面，激活了学生原有的生活经验与认知经验，为新知识学习奠基；另一方面，让学生感受数学与生活实际的联系，一定程度上能增强学生学习数学知识的信念。

　　在建立变化率模型时，周老师主要通过循序渐进的问题链引导学生思考。一方面，驱动学生经历观察、计算、比较、类比、归纳等数学学习的基本活动，体会变化率的来龙去脉，体验学习与研究变化率的抽象和模型思想，养成学生先独立思考后小组交流讨论的良好习惯。另一方面，问题链的循序渐进，易于回答，让学生收获成就，生成求知欲望。

　　2.解释模型

　　首先，周老师通过以下几个问题引导学生分析认识平均变化率：

　　问题5：平均变化率概念有什么结构特征？

　　问题6：请用自己的话描述变化率，并举出生活中变化率的例子。

　　问题7：画出图像并思考变化率的几何意义。

　　评析：解释模型是学习新内容的重要环节，主要意图是理解新的数学知识与技能[1]。在此阶段，大部分教师只是轻描淡写，一带而过，学生往往只是被动的聆听与记忆，或从具体事例中抽象出变化率后，就直接进入应用阶段，这种缺乏学生积极参与和以训练代替理解的教学，容易导致学生理解肤浅，难以内化模型，更难以培养学生良好的数学学习方法与习惯，激发学生数学学习兴趣。

　　周老师在此环节却用心良苦，以精心设置的问题链引导学生多角度认识变化率模型。一方面，通过引导学生观察、分析平均变化率的结构特征，探索平均变化率的外延、变式，使学生深刻理解模型的本质属性，养成学生细心严谨的学习习惯；另一方面，突出数学多元表征教学，即引导学生把概念转化与转译成自然语言、符号语言、图形语言三种表征，这能促使学生深度理解与掌握模型[2]。总体来看，整个解释模型过程不但凸显了变化率模型的形成与分析，加深了模型的理解，让“鱼”有滋有味；并且渗透了“捕鱼”的方法，譬如归纳、抽象、数形结合、多元表征的转换与转译等等。整个过程以问题引领，激发了学生理解模型的欲望，并在自主建构中，感受到了学习乐趣。

　　3.应用模型

　　在应用模型阶段，周老师首先呈现例题：某位跳水运动员相对于水面的高度与起跳后的时间存在函数关系：h（t）=-4.9t2+6.5t+10，请完成以下任务：

　　任务（1） 物理学中的平均速度跟我们今天学习的平均变化率有什么联系？

　　任务（2） 计算该运动员在以下时间段里的平均速度：①[1，2] ②[t1，t2] ③[2，2+△t]

　　接着，先要求学生利用模型自主求解，并从中总结出求解的步骤，然后组织各小组进行成果展示，并按学生自评、组间互评、师评的顺序对成果进行评价。

　　评析：对于新知的应用，一部分教师倾向于题海战术，往往为解题而解题，缺乏变通，且忽视学生的自我总结和评价反思。周老师的处理却让人眼前一亮。首先，将跳水训练与新知联系起来，使学生理解平均速度是平均变化率在物理学中的一个应用，体验到数学广泛的工具性，有利于培养学生的数学应用意识和数学情感。其次，任务（2）中的变式由易到难，由具体到抽象，符合学生的认知规律，这样的变式可达到让学生举一反三、触类旁通的目的，有利于学生从中总结解题步骤或规律，形成解题技能，达到了“捕鱼”效果。再次，周老师采用了自评、生评、师评等多元评价方式，既让学生在自评中反思自己的解题过程，也让其他学生有机会直面同学与教师的解题方法，并从中批判取舍，进一步挖掘或拓展问题。这种多元评价一方面可以促使学生灵活掌握知识，另一方面又可以促进学生观察、批判、反思与总结，锻炼批判与反思能力，激发学生学习情感，提高学生学习积极性。