数学史、数学教育与数学发展的互动

　教育是传承，伴随着数学的产生才有了数学教

　育。数学教育是对数学教材进行教学法的加工，使学生更容易理解和掌握数学的内容、思想和方法的教育活动。教育数学是为了数学教育的需要，对数学家的研究成果进行再创造，改进数学的体系和表述形式，使它更加适合于教学，其本质是一种对数学的再创造活动。

　! 数学教育与教育数学的关系

　数学教育要解决的问题：一是教什么？二是怎

　样教？三是为什么这样教？教什么的问题是一个课程问题，而课程内容是课程的核心要素，课程内容是国家课程目标从人类的经验体系中选择出来，并按照一定的逻辑顺序组织编排而成的知识和经验体系［%］

　。课程内容的基本要素是知识。人类科学文

　化知识是课程内容选择的直接来源。科学文化知识的发展速度制约着课程内容更新的速度。数学作为人类教育的主要课程之一，它的内容来源同样是人类已有的数学知识，亦即数学教育靠数学提供材料。

　然而，人类的知识总量增长一倍的时间周期大大缩短：%E 世纪需要%H" 年；%D 世纪需要H" 年；!" 世纪$" 年代需要$" 年；!" 世纪 H" 年代需要 %" 年。知识无论在内容和形式或者是数量和质量的发展速度都达到了令人吃惊的速度，仅!" 世纪A" I#" 年代，人类新发明的科学技术就远远超过前! """ 年的总和。数学的发展也不例外，世界上有数以万计的数学家，在几百个不同的数学分支里开掘，不断地诞生出新概念、新定理、新猜想、新方法、新问题，人们不可能在有限的生命历程穷尽对他们的学习，更何况它们中只会有少部分会受到同行专家的青睐，被写入专著，成为大家学习钻研的基本参考资料［%］。它

　们中极少极少的部分，由于其基础性和重要性，才能进入课堂，成为各学段的课程内容。然而，即便是这些内容也不能直接被作为课程内容，因为数学家在发表自己的研究成果时呈现出来的是一种经过严密地演绎和逻辑推理的形式化结果，掩盖了发现和证明时所经历的繁复曲折的思考。如果不进行从原始文献到能够引领初学者跨越科学门槛的教程，只是进行教学法上的加工是远不能达到教育目的的。像欧几里得《几何原本》中的许多内容，在此之前就有了，是欧几里得对古希腊几何研究的成果进行数学上的再创造，如同用一根线将散落着的珍珠串了起来，使这些知识至今还在人们的头脑中发挥着作用。

　再如柯西，他对牛顿和莱布尼兹之后积累了!"" 年的微积分研究成果进行了再创造的研究，写出了迈向严密的微积分王国的《分析教程》。还有，代表我国古代数学研究成就的《九章算术》，它本身是对中国秦汉以前数学成就的总结，又影响着后世的数学研究和创造，特别是刘徽的《九章算术注》，更可以看成是对前人研究成果的再创造。以上这些实例告诉我们，要想实现数学教育的目的，首先应将数学家的研究成果进行再创造，把原生态的数学变成教育数学，才能使这些数学成为代代相传的真知。

　! 数学发展史与数学教育

　中国是世界数学的发祥地之一。早在公元! 世

　纪，“算经十书”就被我国古代的数学家完成，并成为长达近" ### 年的算学教材。翻开中华民族的文明史册，数学教育史与数学发展史之间互动的关系便清晰可见，数学教育在数学的产生、积淀和创新的过程中发挥了巨大的传承作用，数学的发展又促进了数学教育这种传承作用的发挥。《前汉书》即有：

　“伏羲画八卦自数起”。从殷墟出土的甲骨片上看，当时就有了完善的十进制记数法，可以推断商朝已经开始传授和学习十进位值制记数法了。到了西周正式提出以“礼、乐、射、御、数、书”为内容的“六艺”

　教育。艺者，技艺，把数学当作一种技艺来传授。因此，古代数学发展就被赋予实用性和算法化的特点，使计算成为数学和数学教育的核心。数学因其在贸易、治水、工具制作、田地计算、管理、建筑、手工业、天文历法等方面应用的广泛性，推动着数学本身以及数学教育的发展。古代数学的发展首推在汉代完成的《九章算术》。九章算术中的问题几乎都来自社会生产、生活实践。"$! 个问题及答案，还有 "#"个术（算法）。“术”是一类问题的共同解法，有了“术”，就可以用它来指导人们的实践，解决一系列的问题。“术”的这种作用从另一方面又推动了“术”的研究。魏、晋、南、北、朝时期，刘徽的《九章算术注》、《海岛算经》、祖冲之得出的% 位有效数字的圆周率等都是传统数学在“术”方面的最高成就。

　隋唐时期，以皇帝的名义钦定 &# 种数学教科书即《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《缀术》、《辑古算经》，总称为“算经十书”，并被之后历代沿用为经典教科书［&］

　。数学教

　育的这一空前发展为数学的发展奠定了基础，为宋、辽、金、元时期数学人才辈出创造了先决条件。在宋、辽、金、元时期产生了一大批杰出的数学家和数学教育家，取得了具有世界历史意义的数学成果。

　贾宪的增乘开方法，秦九韶的《数书九章》与高次方程数值解，李冶的《测圆海镜》与天元术，朱世杰的《四元玉鉴》与高次联立方程组，杨辉的《详解九章算法》、纵横图、垛积术等，这些光辉的数学著作和科研成果把我国传统的实用性算法体系提升到了抽象性算法体系的高度［"］

　。明代是中国封建社会的

　晚期，商品经济的发展，致使数学教育向为商业服务的实用方向发展，珠算教育大为普及，使珠算成了数学教育的主流。随着社会矛盾激化，实行文化专制，排斥数学研究，严禁民间习历法，导致宋、元时期创造的高深数学失传，中断了中国抽象性算法体系的发展。这种数学发展上的中断，必然影响数学教育的发展层次。到了清代前期由于西方数学的传入，开始了中西数学融合的过程，更由于康熙等皇帝的重视，数学教育有了一定的发展，但在地方和民间的数学教育仍以珠算为主。回顾数学与数学教育走过的历程，的确数学发展与数学教育的发展水平是休戚相关的。

　# 数学教育与数学发展

　数学发展的历史也是教育数学发展的历史。翻

　看中国古代数学发展的历史，不难找到教育数学的痕迹。如开始于西周的算筹记数在长期的计算过程中，人们发现不同位值的相邻数字之间容易混杂错落，于是创造了纵式和横式，即个位、百位、万位的筹用纵式，十位、千位、十万位的筹用横式，其余各位依此类推［"］

　。像这样对知识的改造，其初衷是为了更

　好地传承和为数学教育服务。再如，刘歆（前 ’#—"(）是汉代名儒及数学家，通乐律、历法。其《三统历》提出“岁星超辰”算法以改进岁星（木星）周期的计算［"］

　。还有，刘徽的《九章算术注》就是刘徽把

　《九章算术》注释成以应用问题集为形式，以筹算为工具，以“术”为中心，密切联系实际的数学教育体系［"］

　。在清代乾隆、嘉庆年间的乾嘉学派校注数学

　典籍，不但保存和挖掘了中国古代优秀的数学遗产，而且经校注后学者易于理解，有利于数学教学使用［"］

　。事实上，因为中国传统数学是以解决问题为

　出发点的，实用是它的一大特点。根据《考工记》的记述，手工业需要相当的数学知识和把知识用于实际的“技艺”。兴修水利包含着对人们在测量、选线、规划、施工、筹备物资等方面的知识和许多技术要求，这其中有许多知识和“技艺”均与数学知识有关，但无论是技艺还是数学知识都是在师徒间个别传递的。这种传递必然包含了教师对数学知识及把数学知识应用于实际的“技艺”的个人整合，亦即这些知识或“技能”被师傅（老师）用他个人的实践和认识改造后，以更易于学生接受和理解传授。可以说，凡是被传承下来的知识，在传承的过程中，都历经了一个被改造的过程。对数学而言，就是将数学变成教育数学的过程。此过程因为蕴涵着对数学本身的探究，有所新发现就是一种必然，也势必推动数学的发展；反之，数学的发展又使教育数学获得发展的动力。

　! 结 语

　数学的发展与数学教育的发展是互为前提的，

　教育数学是二者沟通的桥梁，它的发展依赖于数学的发展和数学教育的发展，同时它的发展既推动数学自身的发展又推动数学教育的发展。因此，数学发展、数学教育、教育数学三者是相辅相成、三位一体的。现阶段，数学教育应从数学发展史和教育数学两个角度着手：一方面结合教育现实开展校本化的课程开发；另一方面可以结合数学发展的历史，让学生体会知识产生发展的历程，及数学家的艰辛劳动，从宏观上形成个人对知识的把握。

　!）教育数学的思想进行校本化的课程开发

　（"#$%%&’()"*+ #,--.#,&,/）。其思想源于 01 世纪21—31 年代的西方发达国家，主要是针对课程编制者、课程实施者和课程评价者之间的脱节以及由此产生的各种弊端。它的开发者是学校中的部分教师、全体教师，或者是学校与其他机构的合作；开发的课程范围，既可涉及部分课程，也可涉及学校的全部课程；就开发的程度而言，除了新编课程（全新开发），学校或教师选择、改编的课程，也属校本课程之列。所以，它包含两层含义：一是使国家和地方课程校本化，即学校和教师通过选择、改编、整合、补充、拓展等方式，对国家课程和地方课程进行再加工，使之更符合本校学生的特点和需要；二是学校设计开发新的课程。本文所说的校本课程开发主要指学校和教师通过选择、改编、整合、补充、拓展等方式，对课程进行再加工，使人类数千年积累的数学知识体系更符合本校学生的特点和需要，使学生容易接受。如何开展此项工作？利用集体的智慧，将教师从长期处于孤军奋战的境地解放出来，将教师对教材知识的再创造显性化，共同找寻出一种较优的数学概念的表达方式，使数学知识的逻辑结构更适合学生理解和掌握。找寻一种更优的解题方法或解题模式，以帮助学生掌握知识、获得技能、发展能力。

　例如，学习一元微分不变性时，不妨顺势渗入换元的思想，一可让学生易于理解这条性质，二可为换元积分法做理论和方法上的准备。经过诸如这样的教材处理并在实践中结合学生的学习实际，进行教材处理及教学方法上的反思，再交流、再实践，再反思，逐步完善，最后以集体形式完成校本课程的开发，达到课程学习的目的。

　0）文化是一切非自然的、由人类所创造的事物或对象。数学的对象并不是自然界的客观实在物，数学是数学家在长期实践中创造出来的，因此，数学是人类的发明，故数学是一种文化。文化的一个重要特征就是具有历史性，数学也不例外，任何时期的某一数学成果都不是某一时间的偶然产物，都伴随着历史的积淀。“数学的过去被永远地同化在它的现在和将来，这使得数学成为一个逐渐累积的科学”［4］

　。!561 年，英国科学促进协会主席格来舍在

　就任演讲中精辟地指出：“任何试图将一门学科与它的历史割裂开来的话，我们确信没有哪一门学科比数学损失得更多”［7］

　。在 !651 年罗马国际数学

　家大会上，法国数学家庞加来在其大会报告中指出：

　“如果我们要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状”［8］

　等等。对数学史在数学

　教育中价值的认识如：外尔曾说“除了天文学以外，数学是所有学科中最古老的一门科学。如果不去追溯自古希腊以来各个时代所发现与发展起来的概念、方法和结果，我们就不能理解前 81 年数学的目标，也不能理解它的成就”［4］

　。美国数学家和数学

　史家克莱因认为“每一位中学和大学数学教师都应该知道数学史，有许多理由，但最重要的一条理由或许是：数学史是教学的指南”［2］

　。对于数学史的数

　学教育意义，早在01 世纪31 年代，西方数学家就已有共识：利用数学史可以激发学生的学习兴趣，培养学生的数学精神，启发形式的人格成长，预见学生的认知发展，指导并丰富教师的课堂教学，促进学生对数学的理解和对数学价值的认识，构筑数学与人文之间的桥梁等等［3］

　。所以，我们在讲授数学课程

　时，应该用适当的方法向学生介绍一些数学的发展历史，让我们的课堂教学达到：第一，在丰富学生的数学史料的同时，体会数学在人类文化发展中的重要价值，焕发学生的民族自豪感。第二，用数学史开阔学生的思维视野。第三，用展现数学知识发展的教学，帮助学生用历史发展的眼光理解数学概念、原理和方法，理解数学知识、思想和方法的动态生成过程。第四，用历史提供过程，提高学生与数学知识、思想和方法的亲和度，增强学习数学的自信心。第五，了解数学发展的历程，有助于培养学生正确的数学观。第六，以中国古今的数学家在治学上的勤奋、严谨为榜样，培养学生良好的学习习惯等，促成数学教育质量的进一步提高。