下学期 4.10 正切函数的图象和性质1_高一数学教案

4.10 正切函数的图象和性质

第一课时

（一）教学具准备

　直尺、投影仪．

（二）教学目标

　　1．会用“正切线”和“单移法”作函数 的简图．

　2．掌握正切函数的性质及其应用．

（三）教学过程

1．设置情境

　正切函数是区别于正弦函数的又一三角函数，它与正弦函数的最大区别是定义域的不连续性，为了更好研究其性质，我们首先讨论 的作图．

2．探索研究

　师：请同学们回忆一下，我们是怎样利用单位圆中的正弦线作出 图像的．

　生：在单位圆上取终边为 （弧度）的角，作出其正弦线 ，设 ，在直角坐标系下作点 ，则点 即为 图像上一点．

　师：这位同学讲得非常好，本节课我们也将利用单位圆中的正切线来绘制 图像．

　（1）用正切线作正切函数图像

　师：首先我们分析一下正切函数 是否为周期函数？

　生：∵

　　　∴ 是周期函数， 是它的一个周期．

　师：对，我们还可以证明， 是它的最小正周期．类似正弦曲线的作法，我们先作正切函数在一个周期上的图像，下面我们利用正切线画出函数 ， 的图像．

　作法如下：①作直角坐标系，并在直角坐标系 轴左侧作单位圆．

　　　　　　②把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线．

　　　　　　③找横坐标（把 轴上 到 这一段分成8等份）．

　　　　　　④找纵坐标，正切线平移．

　　　　　　⑤连线．

图1

　根据正切函数的周期性，我们可以把上述图像向左、右扩展，得到正切函数 ， 且 （ ）的图像，并把它叫做正切曲线（如图1）．

图2

　（2）正切函数的性质

　请同学们结合正切函数图像研究正切函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性．

　①定义域：

　②值域

　由正切曲线可以看出，当 小于 （ ）且无限亲近于 时， 无限增大，即可以比任意给定的正数大，我们把这种情况记作 （读作 趋向于正无穷大）；当 大于 且无限接近于 ， 无限减小，即取负值且它的绝对值可以比任意给定的正数大，我们把这种情况记作 （读作 趋向于负无穷大）．这就是说， 可以取任何实数值，但没有最大值、最小值．

　因此，正切函数的值域是实数集 ．

　③周期性

　正切函数是周期函数，周期是 ．

　④奇偶性

　∵ ，∴正切函数是奇函数，正切曲线关于原点 对称．

　⑤单调性

　由正切曲线图像可知：正切函数在开区间（ ， ）， 内都是增函数．

　（3）例题分析

　【例1】求函数 的定义域．

　解：令 ，那么函数 的定义域是

　由    ，可得  

　所以函数 的定义域是

　【例2】不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：

　（1） 与 ；

　（2） 与 ．

　解：（1）∵

　又  ∵ ，在 上是增函数

　∴

　（2）∵

　又   ∵ ，函数 ， 是增函数，

　∴   即 ．

　说明：比较两个正切型实数的大小，关键是把相应的角诱导到 的同一单调区间内，利用 的单调递增性来解决．

　3．演练反馈（投影）

　（1）直线 （ 为常数）与正切曲线 （ 为常数且 ）相交的相邻两点间的距离是（      ）

　a．　　b．　　c．　　d．与 值有关

　（2） 是 的（       ）

　a．充分不必要条件　　b．必要不充分条件

　c．充要条件　　　　　d．既不充分也不必要条件

　（3）根据三角函数的图像写出下列不等式成立的角 集合

　①　　②

参考答案：

　（1）c．注： 与 相邻两点之间距离即为周期长

　（2）d．注：由 ，但 ，反之 ，但

　（3）①

　　　　②

　4．提炼

　（1） 的作图是利用平移正切线得到的，当我们获得 上图像后，再利用周期性把该段图像向左右延伸、平移。

　（2） 性质．

（四）板书设计