弦切角_九年级数学教案

1、教材分析

　（1）知识结构

　（2）重点、难点分析

　重点：弦切角定理是本节的重点也是本章的重点内容之一，它在证明角相等、线段相等、线段成比例等问题时，有重要的作用；它与圆心角和圆周角以及直线形角的性质构成了完美的角的体系，属于工具知识之一．

　难点：弦切角定理的证明．因为在证明过程中包含了由“一般到特殊”的思想方法和完全归纳法的思想，虽然在圆周角定理的证明中应用过，但对来说是生疏的，因此它是教学中的难点．

　2、教学建议

　（1）教师在教学过程中，主要是设置学习情境，组织或引导学生发现问题、分析问题、研究问题和归纳结论，应用知识培养的能力；在主体参与的学习过程中，让学会学习，并获得新知识；

　（2）学习时应注意：（Ⅰ）弦切角的识别由三要素构成：①顶点为切点，②一边为切线，③一边为过切点的弦；（Ⅱ）在使用弦切角定理时，首先要根据图形准确找到弦切角和它们所夹弧上的圆周角；（Ⅲ）要注意弦切角定理的证明，体现了从特殊到一般的证明思路．

教学目标：

　1、理解弦切角的概念；

　2、掌握弦切角定理及推论，并会运用它们解决有关问题；

　3、进一步理解化归和分类讨论的思想方法以及完全归纳的证明方法．

　教学重点：弦切角定理及其应用是重点．

　教学难点：弦切角定理的证明是难点．

　教学活动设计：

　（一）创设情境，以旧探新

　1、复习：什么样的角是圆周角?

　2、弦切角的概念：

　电脑显示：圆周角∠cab，让射线ac绕点a旋转，产生无数个圆周角，当ac绕点a  旋转至与圆相切时，得∠bae．

　引导共同观察、分析∠bae的特点：

　(1)顶点在圆周上；　(2)一边与圆相交；　(3)一边与圆相切．

　弦切角的定义：

　顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

　3、用反例图形剖析定义，揭示概念本质属性：

　判断下列各图形中的角是不是弦切角，并说明理由：

　以下各图中的角都不是弦切角．

　图(1)中，缺少“顶点在圆上”的条件；

　图(2)中，缺少“一边和圆相交”的条件；

　图(3)中，缺少“一边和圆相切”的条件；

　图(4)中，缺少“顶点在圆上”和“一边和圆相切”两个条件．

　通过以上分析，使全体明确：弦切角定义中的三个条件缺一不可。

　 （二）观察、猜想

　1、观察：（电脑动画，使c点变动）

　观察∠p与∠bac的关系．

　2、猜想：∠p=∠bac

　（三）类比联想、论证

　1、首先让回忆联想：

　(1)圆周角定理的证明采用了什么方法?

　(2)既然弦切角可由圆周角演变而来，那么上述猜想是否可用类似的方法来证明呢?

　2、分类：教师引导观察图形，当固定切线，让过切点的弦运动，可发现一个圆的弦切角有无数个．

　如图．由此发现，弦切角可分为三类：

　(1)圆心在角的外部；

　(2)圆心在角的一边上；

　(3)圆心在角的内部．

　3、迁移圆周角定理的证明方法

　先证明了特殊情况，在考虑圆心在弦切角的外部和内部两种情况．

　组织讨论：怎样将一般情况的证明转化为特殊情况．

　如图 (1)，圆心o在∠cab外，作⊙o的直径aq，连结pq，则∠bac＝∠baq-∠l＝∠apq-∠2＝∠apc．

　如图 (2)，圆心o在∠cab内，作⊙o的直径aq．连结pq，则∠bac＝∠qab十∠1＝∠qpa十∠2＝∠apc，

　（在此基础上，给出证明，写出完整的证明过程)

　回顾证明方法：将情形图都化归至情形图1，利用角的合成、对三种情况进行完    全归纳、从而证明了上述猜想是正确的，得：

　弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角．
　4．深化结论．

　　练习1 直线ab和圆相切于点p，pc，pd为弦，指出图中所有的弦切角以及它们所夹的弧．

　　练习2 如图，de切⊙o于a，ab，ac是⊙o 的弦，若＝，那么∠dab和∠eac是否相等?为什么?

　　分析：由于 和 分别是两个弦切角∠oab和∠eac所夹的弧．而 ＝ ．连结b，c，易证∠b＝∠c．于是得到∠dab＝∠eac．

　　由此得出：

　　推论：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等．

　　（四）应用

　　例1如图，已知ab是⊙o的直径，ac是弦，直线ce和⊙o 切于点c，ad⊥ce，垂足为d

　　求证：ac平分∠bad．

　　思路一：要证∠bac＝∠cad，可证这两角所在的直角三角形相似，于是连结bc，得rt△acb，只需证∠acd＝∠b．

　　证明：(板书)

　　组织学生积极思考．可否用前边学过的知识证明此题?由回答，教师小结．

　　思路二，连结oc，由切线性质，可得oc∥ad，于是有∠l＝∠3，又由于∠1＝∠2，可证得结论。

　　思路三，过c作cf⊥ab，交⊙o于p，连结af．由垂径定理可知∠1＝∠3，又根据弦切角定理有∠2＝∠1，于是∠2=∠3，进而可证明结论成立．

　　练习题

　　1、如图，ab为⊙o的直径，直线ef切⊙o于c，若∠bac＝56°，则∠eca＝______度．

　　2、ab切⊙o于a点，圆周被ac所分成的优弧与劣弧之比为3:1，则夹劣弧的弦切角∠bac＝________

　　3、如图，经过⊙o上的点t的切线和弦ab的延长线相交于点c．

　　求证：∠atc＝∠tbc．

　　(此题为课本的练习题，证明方法较多，组织讨论，归纳证法．)

　　（五）归纳小结

　　教师组织归纳：

　　(1)这节课我们主要学习的知识；

　　(2)在学习过程中应用哪些重要的思想方法？

　　（六）作业：教材p13l习题7．4a组l(2)，5，6，7题．

探究活动

　　一个角的顶点在圆上，它的度数等于它所夹的弧对的圆周角的度数，试探讨该角是否圆周角？若不是，请举出反例；若是圆周角，请给出证明．

　　提示：是圆周角（它是弦切角定理的逆命题）．分三种情况证明（证明略）．