切线长定理_九年级数学教案

1、教材分析

　（1）知识结构

　（2）重点、难点分析

　重点：切线长定理及其应用．因切线长定理再次体现了圆的轴对称性，它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据，它属于工具知识，经常应用，因此它是本节的重点．

　难点：与切线长定理有关的证明和计算问题．如120页练习题中第3题，它不仅应用切线长定理，还用到解方程组的知识，是代数与几何的综合题，往往不能很好的把知识连贯起来．

　2、教法建议

　本节内容需要一个课时．

　（1）在教学中，组织自主观察、猜想、证明，并深刻剖析切线长定理的基本图形；对重要的结论及时；

　（2）在教学中，以“观察——猜想——证明——剖析——应用——归纳”为主线，开展在教师组织下，以为主体，活动式教学．

教学目标

　1．理解切线长的概念，掌握切线长定理；

　2．通过对例题的分析，培养学生分析问题的习惯，提高综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想．

　3．通过对定理的猜想和证明，激发的学习兴趣，调动的学习积极性，树立的学习态度．

　教学重点:

　切线长定理是教学重点

　教学难点:

　切线长定理的灵活运用是教学难点

　教学过程设计:

　（一）观察、猜想、证明，形成定理

　 1、切线长的概念．

　如图，p是⊙o外一点，pa，pb是⊙o的两条切线，我们把线段pa，pb叫做点p到⊙o的切线长．

　引导理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.

　2、观察

　利用电脑变动点p 的位置，观察图形的特征和各量之间的关系．

　3、猜想

　引导直观判断，猜想图中pa是否等于pb． pa＝pb．

　4、证明猜想，形成定理．

　猜想是否正确。需要证明．

　组织分析证明方法．关键是作出辅助线oa，ob，要证明pa＝pb．

　想一想：根据图形，你还可以得到什么结论？

　∠opa＝∠opb(如图)等．

　切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．

　5、归纳：

　把前面所学的切线的5条性质与切线长定理一起归纳切线的性质

　6、切线长定理的基本图形研究

　如图，pa，pb是⊙o的两条切线，a，b为切点．直线op交⊙o于点d，e，交ap于c

　(1)写出图中所有的垂直关系；

　(2)写出图中所有的全等三角形；

　(3)写出图中所有的相似三角形；

　(4)写出图中所有的等腰三角形．

　说明：对基本图形的深刻研究和认识是在学习几何中关键，它是灵活应用知识的基础．

　（二）应用、归纳、反思

　例1、已知：如图，p为⊙o外一点，pa，pb为⊙o的切线，

　a和b是切点，bc是直径．

　求证：ac∥op．

　分析：从条件想，由p是⊙o外一点，pa、pb为⊙o的切线，a，b是切点可得pa＝pb，∠apo＝∠bpo，又由条件bc是直径，可得ob＝oc，由此联想到与直径有关的定理“垂径定理”和“直径所对的圆周角是直角”等．于是想到可能作辅助线ab.

　从结论想，要证ac∥op，如果连结ab交op于o，转化为证ca⊥ab，op ⊥ab，或从od为△abc的中位线来考虑．也可考虑通过平行线的判定定理来证，可获得多种证法．

　证法一．如图．连结ab．

　　pa，pb分别切⊙o于a，b

　　∴pa＝pb∠apo＝∠bpo

　　∴ op ⊥ab

　　又∵bc为⊙o直径

　　∴ac⊥ab

　　∴ac∥op (板书)

　证法二．连结ab，交op于d

　　pa，pb分别切⊙o于a、b

　　∴pa＝pb∠apo＝∠bpo  

　　∴ad＝bd

　　又∵bo=do

　　∴od是△abc的中位线

　　∴ac∥op

　证法三．连结ab，设op与ab弧交于点e

　　pa，pb分别切⊙o于a、b

　　∴pa＝pb

　　∴ op ⊥ab

　　∴ =

　　∴∠c＝∠pob

　　∴ac∥op

　反思：教师引导学生比较以上证法，激发的学习兴趣，培养灵活应用知识的能力．
　例2、 圆的外切四边形的两组对边的和相等．

　（分析和解题略）

　反思：（1）例3事实上是圆外切四边形的一个重要性质，请记住结论．（2）圆内接四边形的性质：对角互补．

　p120练习：

　练习1　填空

　如图,已知⊙o的半径为3厘米，po＝6厘米，pa，pb分别切⊙o于a，b，则pa＝_______，∠apb＝________

　练习2　已知：在△abc中，bc＝14厘米，ac＝9厘米，ab＝13厘米，它的内切圆分别和bc，ac，ab切于点d，e，f，求af，ad和ce的长．

　分析：设各切线长af，bd和ce分别为x厘米，y厘米，z厘米．后列出关于x , y，z的方程组，解方程组便可求出结果．

　（解略）

　反思：解这个题时，除了要用三角形内切圆的概念和切线长定理之外，还要用到解方程组的知识，是一道综合性较强的计算题．通过对本题的研究培养的综合应用知识的能力．

　（三）小结

　1、提出问题归纳

　（1）这节课学习的具体内容；

　（2）学习用的思想方法；

　（3）应注意哪些概念之间的区别?

　2、归纳基本图形的结论

　3、学习了用代数方法解决几何问题的思想方法．

　（四）作业

　教材p131习题7．4a组1．(1)，2，3，4．b组1题．

探究活动

图中找错

　你能找出（图1）与（图2）的错误所在吗？

　在图2中，p₁a为⊙o₁和⊙o₃的切线、p₁b为⊙o₁和⊙o₂的切线、p₂c为⊙o₂和⊙o₃的切线．

　提示：在图1中，连结pc、pd，则pc、pd都是圆的直径，从圆上一点只能作一条直径，所以此图是一张错图，点o应在圆上．

　在图2中，设p₁a=p₁b=a，p₂b=p₂c=b，p₃a＝p₃c＝c，则有

　　a= p₁a= p₁p₃+p₃a= p₁p₃+ c　　①

　　c= p₃c= p₂p₃+p₃a= p₂p₃+ b　　②

　　a= p₁b= p₁p₂+p₂b= p₁p₂+ b　　③

　　将②代人①式得

　　a = p₁p₃+（p₂p₃+ b）= p₁p₃+p₂p₃+ b，

　　∴a-b= p₁p₃+p₂p₃

　　由③得a-b= p₁p₂得

　　∴p₁p₂= p₂p₃+ p₁p₃

　　∴p₁、p ₂ 、p₃应重合，故图2是错误的．