下学期 4.5 正弦、余弦的诱导公式_高一数学教案

正弦、余弦的诱导公式教学设计示例（一）

教学目标：
　　1．掌握诱导公式及其推演时过程．
　　2．会应用诱导公式，进行简单的求值或化简．
教学重点：
　　理解并掌握诱导公式．
教学难点：
　　运用诱导公式求三角函数值，化简或证明三角函数式．
教学用具：
　　三角板、圆规、投影仪．
教学过程：
1．设置情境
　　我们已经学过了诱导公式一：，，，（），有了它就可以把任一角的三角函数求值问题，转化为～间角的三角函数值问题．那么能否再把～间的角的三角函数求值，继续化为我们熟悉的～间的角的三角函数求值问题呢？如果能的话，那么任意角的三角函数求值，都可以化归为锐角三角函数求值，并通过查表方法而得到最终解决，本课就来讨论这一问题．
2．探索研究
　　（1）出示下列投影内容
　　设，对于任意一个到的角，以下四种情形中有且仅有一种成立．

　首先讨论，其次讨论，以及的三角函数值与的三角函数值之间的关系，为了使讨论更具一般性，这里假定为任意角．
（2）学习诱导公式二、三的推导过程．
　　已知任意角的终边与单位圆相交于点，请同学们思考回答点关于轴、轴、原点对称的三个点的坐标间的关系．
　　点关于轴对称点，关于轴对称点，关于原点对称点（可利用演示）．
　　图1由于角的终边与单位圆交于，则的终边就是角终边的反向延长线，角的终边与单位圆的交点为，则是与关于对称的点．所以，又因单位圆半径，由正弦函数、余弦函数定义，可得

　　
　　
于是得到一组公式（公式二）

　我们再来研究角与的三角函数值之间的关系，如图2，利用单位圆作出任意角与单位圆相交于点，角的终边与单位圆相交于点，这两个角的终边关于轴对称，所以
∵
∴
　　
于是又得到一组公式（公式三）

【例1】求下列三角函数值：
　　（1）（2）；　
　　（3）；（4）．
解：（1）
　　　　　　
（2）
　　　　　　　　
　　　　　　　　　
（3）
　　　　　　　　
（4）
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　
【例2】化简：
解：∵
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　
　　　
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　
∴　原式
（3）推导诱导公式四、五
　　请同学们思考如何利用已学过的诱导公式推导，与的三角函值之间的关系？由诱导公式我们可以得到
　　
　　
：
　　　　
由此可得公式四、五

　公式一、二、三、四、五都叫做诱导公式．概括如下：，，，的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号，简化成“函数名不变，符号看象限”的口诀．
【例3】求下列各三角函数：
　　（1）；　　（2）．
解：（1）
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　
　　（2）
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　．
　　观察以上的解题过程，请同学们，利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤．
回答后得出，在求任意角的三角函数值时一般可按以下步骤：

　运用诱导公式解题的本质是多次运用“化归”思想方法，化负角为正角，化到的角为到间的角，再求值的过程．
3．演练反馈（投影仪）
　　（1）已知，求的值
　　（2）已知，求的值
　　（3）已知，求的值
参考答案：
　　（1）若为Ⅳ象限角，则
　　　　　若为Ⅰ象限角，则
　　（2）
　　（3）∵
　　　　　
　　　　　
　　∴
4．本课小结
　　（1）求任意角的三角函数式的一般程序：负（角）变正（角）→大（角）变小（角）→（一直）变到～之间（能查表）．
　　（2）变角是有一定技巧的，如可写成，也可以写成不同表达方法，决定着使用不同的诱导公式．
　　（3）凑角方法也体现出很大技巧。如，已知角“ ”，求未知角“ ”，可把改写成．
课时作业：
　　1．已知，是第四象限角，则的值是（）
　　a．　　b．　　c．　　d．

2．下列公式正确的是（      ）
　　a．　　b．
　　c．　　d．
3．的成立条件是（       ）
　　a．为不等于的任意角　　b．锐角
　　c．　　　　　d．，且
4．在中，下列各表达式为常数的是（       ）
　　a．　　b．
　　c．            d．
5．化简
　　（1）
　　（2）
6．证明恒等式
　　