下学期 4.4 同角三角函数的基本关系式_高一数学教案
同角三角函数的基本关系式
教学目标：
1．掌握同角三角函数之间的三组常用关系，平方关系、商数关系、倒数关系．
2．会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值或化简三角式．
教学重点：
理解并掌握同角三角函数关系式．
教学难点：
已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时正负号的选择；
教学用具：
直尺、投影仪．
教学步骤：
1．设置情境
与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．
2．探索研究
（1）复习任意角三角函数定义
上节课我们已学习了任意角三角函数定义，如图1所示，任意角 
的六个三角函数是如何定义的呢？
在 
的终边上任取一点 
，它与原点的距离是 
，则角 
的六个三角函数的值是：
； 
； 
； 
； 
（2）推导同角三角函数关系式
观察 
及 
，当 
时，有何关系？
当 
且 
时 
、 
及 
有没有商数关系？
通过计算发现 
与 
互为倒数：∵ 
．
由于 
，
这些三角函数中还存在平方关系，请计算 
的值．
由三角函数定义我们可以看到： 
．
∴ 
，现在我们将同角三角函数的基本关系式如下：
①平方关系： 
②商数关系： 
③倒数关系： 
即同一个角 
的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角 
的正切，同一个角的正切、余切之积等于1（即同一个角的正切、余切互为倒数）．上面这三个关系式，我们称之为恒等式，即当 
取使关系式两边都有意义的任意值时，关系式两边的值相等，在第二个式中， 
在第三个式中， 
的终边不在坐标轴上，这时式中两边都有意义，以后解题时，如果没有特别说明，一般都把关系式看成是意义的．其次，在利用同角三角函数的基本关系式时，要注意其前提“同角”的条件．
（3）同角三角函数关系式的应用
同角三角函数关系式十分重要，应用广泛，其中一个重要应用是根据一个角的某一个三角函数，求出这个角的其他三角函数值．
【例1】已知 
，且 
是第二象限角，求 
， 
， 
的值．
解：∵ 
，且 
，∴ 
是第二或第三象限角．
如果 
是第二象限角，那么
如果 
是第三象限角，那么 
， 
说明：本题没有具体指出 
是第几象限的角，则必须由 
的函数值决定 
可能是哪几象限的角，再分象限加以讨论．
【例2】已知 
，求 
的值．
解： 
，且 
， 
是第二或第三象限角．
如果 
是第二象限角，那么
如果 
是第三象限角，那么 
．
说明：本题没有具体指出 
是第几象限角，则必须由 
的函数值决定 
可能是哪几象限的角，再分象限加以讨论．
【例3】已知 
为非零实数，用 
表示 
， 
．
解：因为 
，所以 
又因为 
，所以
于是 
∴ 
由 
为非零实数，可知角 
的终边不在坐标轴上，考虑 
的符号分第一、第四象限及第二、三象限，从而：
在三角求值过程中应尽量避免开方运算，在不可避免时，先计算与已知函数有平方关系的三角函数，这样可只进行一次开方运算，并可只进行一次符号说明．
同角三角函数关系式还经常用于化简三角函数式，请看例4
【例4】化简下列各式：
（1） 
；（2） 
．
解：（1） 
（2） 
3．演练反馈（投影）
（1）已知： 
，求 
的其他各三角函数值．
（2）已知 
，求 
， 
．
（3）化简： 
解答：（1）解：∵ 
，所以 
是第二、第三象限的角．
如果 
是第二象限的角，则：
又 
如果 
是第三象限的角，那么
（2）解：∵ 
∴ 
是第二或第四象限的角
由【例3】的求法可知当 
是第二象限时
当 
是第四象限时
（3）解：原式 
4．本课小结
（1）同角三角函数的三组关系式的前提是“同角”，因此 
， 
……．
（2）诸如 
， 
，……它们都是条件等式，即它们成立的前提是表达式有意义．
（3）利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论．
课时作业：
1．已知 
， 
，则 
等于（ ）
a． 
b． 
c． 
d． 
2．若 
，则 
的值是（ ）
a．－2 b．2 c．±2 d． 
3．化简 
4．化简 
，其中 
为第二象限角．
5．已知 
，求 
的值．
6．已知 
是三角形的内角， 
，求 
值．
参考答案：1．d； 2．b； 3．1； 4． 
； 5．3； 6． 
注：4．略解：原式 
∵ 
在第二象限
∴ 
∴ 
．
6．略解：
由 
，平方得， 
，
∴ 
∵ 
是三角形内角
∴只有 
∴ 
， 
由 
及 
，联立，得： 
， 
，
∴ 