垂直于弦的直径_九年级数学教案

第一课时 垂直于弦的直径（一）

　教学目标：

　(1)理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明；

　(2)进一步培养观察问题、分析问题和解决问题的能力；

　(3)通过圆的对称性，培养对的审美观，并激发对的热爱．

　教学重点、难点：

　重点：①垂径定理及应用；②从感性到理性的学习能力．

　   难点：垂径定理的证明．

　教学学习活动设计：

　（一）实验活动，提出问题：

　1、实验：让学生用自己的方法探究圆的对称性，教师引导努力发现：圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性.

　2、提出问题：引导观察、分析、发现和提出问题.

　通过“演示实验——观察——感性——理性”引出垂径定理．

　（二）垂径定理及证明：

　已知：在⊙o中，cd是直径，ab是弦，cd⊥ab，垂足为e．

　求证：ae=eb， = ， = ．

　证明：连结oa、ob，则oa=ob．又∵cd⊥ab，∴直线cd是等腰△oab的对称轴，又是⊙o的对称轴．所以沿着直径cd折叠时，cd两侧的两个半圆重合，a点和b点重合，ae和be重合， 、 分别和 、 重合．因此，ae=be， = ， = ．从而得到圆的一条重要性质．

　垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

　组织剖析垂径定理的条件和结论：

　 cd为⊙o的直径，cd⊥ab ae=eb， = ， = .

　为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.加深对定理的理解，突出重点，分散难点，避免记混.

　（三）应用和训练

　例1、如图，已知在⊙o中，弦ab的长为8cm，圆心o到ab的距离为3cm，求⊙o的半径．

　分析：要求⊙o的半径，连结oa，只要求出oa的长就可以了，因为已知条件点o到ab的距离为3cm，所以作oe⊥ab于e，而ae＝eb＝ ab=4cm．此时解rt△aoe即可．

　解：连结oa，作oe⊥ab于e．

　则ae=eb．

　∵ab=8cm，∴ae=4cm．

　又∵oe=3cm，

　在rt△aoe中，

　 (cm)．

　∴⊙o的半径为5 cm．

　说明：①独立完成，指导解题步骤；②应用垂径定理计算：涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h

　关系：r = h+d；　r² = d² + (a/2)²

　例2、 已知：如图，在以o为圆心的两个同心圆中，大圆的弦ab交小圆于c、d两点．求证ac=bd．（证明略）

　说明：此题为基础题目，对各个层次的都要求独立完成．

　练习1：教材p78中练习1，2两道题.由学生分析思路，之间展开评价、交流．

　指导归纳：①构造垂径定理的基本图形，垂径定理和勾股定理的结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的常用方法；②在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线——弦心距.

　（四）小节与反思

　教师组织进行：

　知识：(1)圆的轴对称性；(2)垂径定理及应用．

　方法：(1)垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法，构造直角三角形；(2)在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线——弦心距；(3)为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足①过圆心；②垂直于弦；则可得③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．

　（五）作业

　教材p84中11、12、13．

第二课时 垂直于弦的直径（二）

　教学目标：

　（1）使掌握垂径定理的两个推论及其简单的应用；

　（2）通过对推论的探讨，逐步培养学生观察、比较、分析、发现问题，概括问题的能力．促进创造思维水平的发展和提高

　（3）渗透一般到特殊，特殊到一般的辩证关系．

　教学重点、难点：

　重点：①垂径定理的两个推论；②对推论的探究方法．

　难点：垂径定理的推论1．

　学习活动设计：

　(一)分解定理（对定理的剖析）

　1、复习提问：定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对应的两条弧.

　2、剖析：

　（教师指导）

　(二)新组合，发现新问题：（a层学生自己组合，小组交流，b层引导）

　 ， ，……（包括原定理，一共有10种）

　(三)探究新问题，归纳新结论：

　（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦对应的两条弧.

　（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦对应的两条弧.

　（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.

　（4）圆的两条平行线所夹的弧相等.

　(四)巩固练习：

　练习1、“平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”这句话对吗?为什么?

　（在推论1（1）中，为什么要附加“不是直径”这一条件．）

　练习2、按图填空：在⊙o中，

　（1）若mn⊥ab，mn为直径，则________，________，________；

　（2）若ac＝bc，mn为直径，ab不是直径，则则________，________，________；

　（3）若mn⊥ab，ac＝bc，则________，________，________；

　（4）若 = ，mn为直径，则________，________，________．

　（此题目的：巩固定理和推论）

　（五）应用、反思

　例、四等分 ．

　（a层学生自主完成，对于其他层次的在指导下完成）

　教材p80中的第3题图，是典型的错误作.

　此题目的：是引导学生应用定理及推论来平分弧的方法，通过学生自主操作培养学生的动手能力；通过与教材p80中的第3题图的对比，加深学生对感性知识的认识及理性知识的理解．培养的思维能力．

　（六）小结：

　知识：垂径定理的两个推论．

　能力：①推论的研究方法；②平分弧的作图．

　（七）作业：教材p84中14题．

第三课时 垂径定理及推论在解题中的应用

　教学目的：

　⑴要求掌握垂径定理及其推论，会解决有关的证明，计算问题.

　⑵培养学生严谨的逻辑推理能力；提高方程思想、分类讨论思想的应用意识.

　⑶通过例4（赵州桥）对进行爱国主义的；并向渗透实践，又反过来服务于实践的辩证唯物主义思想

　教学重点：垂径定理及其推论在解题中的应用

　教学难点：如何进行辅助线的添加

　教学内容：

　(一)复习

　1．垂径定理及其推论1：对于一条直线和一个圆来说，具备下列五个条件中的任何个，那么也具有其他三个：⑴ 直线过圆心 ；⑵ 垂直于弦 ；⑶ 平分弦 ；⑷ 平分弦所对的优弧 ；⑸ 平分弦所对的劣弧.可简记为：“知2推3”

　推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等.

　2．应用垂径定理及其推论计算（这里不管什么层次的都要自主研究）

　涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h

　关系：r = h+d   ;  r² = d² + (a/2)²

　3．常添加的辅助线：（归纳）

　⑴ 作弦心距 ；⑵ 作半径 .------构造直角三角形

　4．可用于证明：线段相等、弧相等、角相等、垂直关系；同时为圆中的计算、作图提供依据.

　(二)应用例题：（让学生分析，交流，解答，引导归纳）

　例1、1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4米，拱高(弧中点到弦的距离，也叫弓形的高)为7.2米，求桥拱的半径(精确到0.1米)．

　说明：①对进行爱国主义的；②应用题的解题思路：实际问题——（转化，构造直角三角形）——问题．

　例2、已知：⊙o的半径为5 ，弦ab∥cd ，ab = 6 ，cd =8 .求：ab与cd间的距离.（让画图）

　解：分两种情况：

　（1）当弦ab、cd在圆心o的两侧

　过点o作ef⊥ab于e，连结oa、oc，

　又∵ab∥cd，∴ef⊥cd．（作辅助线是难点，往往作oe⊥ab，of⊥ab，就得ef=oe+of，错误的结论）

　由ef过圆心o，ef⊥ab，ab = 6，得ae=3，

　在rt△oea中，由勾股定理，得

　，∴

　同理可得：of=3

　∴ef=oe+of=4+3=7．

　（2）当弦ab、cd在圆心o的同侧

　同（1）的方法可得：oe=4，of=3．

　∴．

　说明：①此题主要是渗透分类思想，培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形——分析图形——数形结合——解决问题；②培养作辅助线的方法和能力．

　例3、 已知：如图，ab是⊙o的弦，半径oc∥ab ，ab=24 ，oc = 15 .求：bc的长.

　解：（略，过o作oe⊥ae于e ，过b作bf⊥oc于f ，连结ob.bc = ）

　说明：通过添加辅助线，构造直角三角形，并把已知与所求线段之间找到关系.

　（三）应用训练：

　p8l中1题．

　在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后．截面如图所示，若油面宽ab=600mm，求油的最大深度．

　分析，教师适当点拨．

　分析：要求油的最大深度，就是求有油弓形的高，弓形的高是半径与圆心o到弦的距离差，从而不难看出它与半径和弦的一半可以构造直角三角形，然后利用垂径定理和勾股定理来解决．

　（四）小结：

　1. 垂径定理及其推论的应用注意指明条件.

　2. 应用定理可以证明的问题；注重构造思想，方程思想、分类思想在解题中的应用.

　(五)作业：教材p84中15、16题，p85中b组2、3题．

探究活动

　 如图，直线mn与⊙o交于点a、b，cd是⊙o的直径，ce⊥mn于e，df⊥mn于f，oh⊥mn于h.

　（1）线段ae、bf之间存在怎样的关系？线段ce、oh、df之间满足怎样的数量关系？并说明理由.

　（2）当直线cd的两个端点在mn两侧时，上述关系是否仍能成立？如果不成立，它们之间又有什么关系？并说明理由.

　（答案提示：（1）ae=bf，ce+df=2oh，（2）ae=bf仍然成立，ce+df=2oh不能成立.ce、df、oh之间应满足）