正切和余切_九年级数学教案
第一课时
一、教学目标
1．使了解正切、余切的概念，能够正确地用
、
表示直角三角形（其中一个锐角为
）中两边的比，了解
与
成倒数关系，熟记30°、45°、60°角的各个三角函数值，会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数，了解一个锐角的正切（余切）值与它的余角的余切（正切）值之间的关系。
2．逐步培养观察、比较、分析、综合、概括等逻辑思维能力。
3．培养独立思考、勇于创新的精神。
二、学法引导
1．教学方法：运用类比法指导探索研究新知。
2．学法：运用类比法主动探索研究新知。
三、重点、难点、疑点及解决办法
1．重点：了解正切、余切的概念，熟记特殊角的正切值和余切值。
2．难点：了解正切和余切的概念。
3．疑点：正切与余切概念的混淆．
4．解决办法：通过类比引出概念和性质，再通过大量直接应用，巩固概念和性质。
四、教具准备
投影机、投影片（自制）、三角板
五、教学步骤
（一）明确目标
1．什么是锐角
的正弦、余弦？（结合下图回答）。
2．填表
3．互为余角的正弦值、余弦值有何关系？
4．当角度在0°～90°变化时，锐角的正弦值、余弦值有何变化规律？
5．我们已经掌握一个锐角的正弦（余弦）是指直角三角形中该锐角的对边（邻边）与斜边的比值，那么直角三角形中，两直角边的比值与锐角的关系如何呢？在锐角三角函数中，除正、余弦外，还有其他一些三角函数，本节课我们学习正切和余切。
（二）整体感知
正切、余切的概念，也是本间的重点和关键，是全章知识的基础，对今后的学习或工作都十分重要，教材在继第一节正弦和余弦后，又以同样的顺序安排第二节正切余切，像这样，把概论、计算和应用分成两块，每块自与一个整体小循环，第二循环又包含了第一循环的内容，可以有效地克服难点，同时也使通过对比，便于掌握锐角三角函数的有关知识。
（三）教学过程
1．引入正切、余切概念
①本节课我们研究两直角边的比值与锐角的关系，因此同学们首先应思考：当锐角固定时，两直角边的比值是否也固定？
因为学生在研究过正弦、余弦概念之后，已经接触过这类问题，所以大部分能口述证明，并进一步猜测“两直角边的比值一定是正切和余切”。
②给出正切、余切概念。
如图，在
中，把
的对边与邻边的比叫做
的正切，记作
。
即 
并把
的邻边与对边的比叫做
的余切，记作
，
即 
2．
与
的关系
请观察
与
的表达式，得结论
（或
，
）这个关系式既重要又易于掌握，必须让深刻理解，并与
区别开．
3．锐角三角函数
由上图，
，
，
，
，把锐角
的正弦、余弦、正切、余切都叫做
的锐角三角函数。
锐角三角函数概念的给出，使茅塞顿开，初步理解本节题目。
问：锐角三角函数能否为负数？
回答这个问题很容易。
4．特殊角的三角函数。
①教师出示幻灯片
请同学推算30°、45°、60°角的正切、余切值。（如下图）
；
；
；
；
；
．
通过学生计算完成表格的过程，不仅复习巩固了正切、余切概念，而且使熟记特殊角的正切值与余切值，同时渗透了数形结合的思想。
0°，90°正切值与余切值可引导学生查“正切和余切表”，完全能独立查出。
5．根据互为余角的正弦值与余弦值的关系，结合图形，引导发现互为余角的正切值与余切值的关系。
结论：任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
即 
，
．
练习：1）请回答
与
的值各是多少？
与
？
与
呢？学生口答之后，还可以为程度较高的设置问题：
与
有何关系？为什么？
与
呢？
2）把下列正切或余切改写成余角的余切或正切：
（1）
；（2）
；（3）
；（4）
；（5）
；（6）
。
6．例题
【例1】求下列各式的值：
（1）
；
（2）
．
解：（1）
；
（2）
＝2．
；
练习1．求下列各式的值：
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
．
2．填空：
（1）
（2）若
，则锐角
（3）若
，则锐角
学生的计算能力可能不很强，尤其是分式，二次根式的运算，因此这里应查缺补漏，以培养运算能力。
（四）扩展
请小结：本节课了解了正切、余切的概念及
与
关系．知道特殊角的正切余切值及互为余角的正切值与余切值的关系．本课用到了数形结合的思想．
结合
及
，可扩展为
．
六、布置作业
1．看教材p12～p14，培养看书习惯。
2．教材p16中习题6.2a组2、3、4、5、6．
七、板书设计
第二课时
一、教学目标
1．巩固正、余切概念，学会用正、余切来解决问题．
2．通过例题教学，培养学生分析问题、解决问题的能力； 通过归纳、概括，培养逻辑思维能力。
3．培养独立思考、勇于创新的精神及良好的学习习惯。
二、学法引导
1．教学方法：指导探索研究法。
2．学法：主动探索研究法。
三、重点、难点、疑点及解决办法
1．重点：用正、余切解直角三角形。
2．难点：灵活运用正切、余切。
3．疑点：可能对正切、余切概念掌握不牢，导致出现
之类的错误，教学中应引起重视，使熟能生巧。
4．解决办法：通过教师精心引导，积极思维，主动研究发现，及练习巩固解决重难点及疑点。
四、教具准备
投影机（或电脑）、自制投影片（或）、三角板
五、教学步骤
（一）明确目标
结合图，说出什么是
的正切、余切？
请班级里较差回答，以检测其掌握情况．
2．
与
具有什么关系？
答：
（或
或
）．
3．互为余角的正切值与余切值具有什么关系？
答：
，
3．互为余角的正切值与余切值具有什么关系？
答：
，
4．在0°～90°间，正切、余切值随角度变化而变化的规律是什么？
通过以上四个问题，使对新学的知识有了系统的认识，便于应用．
对概念的巩固最好的途径是配备练习题．因此，教师在引导复习有关概念后，应出示练习题（投影片）．
1．在
中，
为直角，
、
、
所对的边分别为
。
①若 ，
，则
，
，
，
②若
，则
2．比较大小：
①
②
③
④
3．计算题：
①
；
②
．
（二）整体感知
本课安排在本小节末，运用本小节的知识去解决一个简单问题，再次为本章第二节解直角三角形做好准备．当然，这个问题只用上一小节学过的正弦、余弦也可以解决，不过那样做，就要先求出斜边 ，解的过程要繁琐一些。
（三）教学过程
1．讲授新课
【例】在
中，
为直角，
所对的边分别是
，已知
，
，求
（保留两位有效数字）．
这个题是本大节知识的综合运用，考查知识点面面俱到，是检查全体是否全面达到教学目标要求有效途径，教学中应引导学生全体参与，积极地探求各种解法，然后加以比较，优选出最佳方法，以培养思维的敏捷性、深刻性，形成良好的思维品质。
分析：本题已知
和
，求
，观察图不难发现，边
恰好是
的对边与邻邦边，因此求
可选用以下两个关系式：（1）
，（2）
．
请比较一下，哪一个关系计算更简便呢？答：若选用
，由此得
，用
除以含四位有效数字的数，计算比较麻烦；而选用
，由此得
．用
乘以含四位有效数字的数，计算相对方便．
解：
，
∴
解完例题之后，应引导小结：本题显示了“除法与乘法在一定条件下可以互相转化”，其中“条件”是
与
互为倒数．认真分析和利用这种转化，有时可使计算简便．
2．巩固练习
本节课实际上是对前面课的综合，通过对前面知识的综合运用，以培养的比较、分析、概括等逻辑思维能力．因此例题后应安排练习题如下：
在
中，
为直角，
、
、
所对的边分别为
．
（1）已知
，
，求
和
．
（2）已知
，
，求
和
．
（3）已知
，
，求
．
（4）已知
，
，求
．
（5）已知
，
，求
．
（6）已知
，
，求
和
（保留两位有效数字）．
教法说明：给学生足够的时间，引导学生讨论、研究，筛选出最佳关系式使计算简便，既培养学生计算能力，巩固所学知识，又能培养的思维能力．
[参考答案]（1）
，
；（2）
，
；（3）
；（4）
；（5）
；（6）
，
．
3．对学有余力的学生，可引导其读教材p15想一想．使对正弦、余弦间的关系，正切、余切间的关系以及弦、切间的关系有所了解，保证知识的完整性，为高中三角函数的学习打下基础．教师板书
．
（四）、扩展
引导：1．要认真分析直角三角形中的各边与角的三角函数关系．2．因为同一个角的正切和余切可以互相转化，所以在选用关系时昼选择乘法使计算较简便．
六、布置作业
1．看教材p1～p17，培养看书习惯。
2．教材p17习题a组7、8，学有余力的可选做b组题。
七、板书设计
