正弦和余弦_九年级数学教案

教学建议

　1．知识结构：本小节主要学习正弦、余弦的概念，30°、45°、60°角的正弦、余弦值，一个锐角的正弦（余弦）值与它的余角的余弦（正弦）值之间的关系，以及应用上述知识解决一些简单问题（包括引言中的问题）等.

　2．重点、难点分析

　（1）正弦、余弦函数的定义是本节的重点，因为它是全章乃至整个三角学的预备知识.有了正弦、余弦函数的定义，再学习正切和余切、解直角三角形、引入任意角三角函数便都有了基础.

　（2）正弦、余弦的概念隐含着角度与数值之间有一一对应关系的函数思想，并且用含有几个字母的符号组sina，cosa来表示，过去未接触过，所以正弦、余弦的概念是难点.

　3．理解一个锐角的正弦、余弦值的唯一性，是理解三角函数的核心.

　锐角的正弦、余弦值是这样规定的：当一个锐角确定了，那么这个锐角所在的直角三角形虽然有无穷多个，但它们都是彼此相似的.如上图，当确定时，包含的直角三角形有无穷多个，但它们彼此相似：

　 ∽ ∽ ∽ ……因此，由于相似三角形的对应边成比例，所以这些三角形的对应边的比都是相等的.

　这就是说，每当一个锐角确定了，包含这个角的直角三角形的上述2种比值也就唯一确定了，它们有确定不变的对应关系.为了简单地表达这些对应关系，我们引入了正（余）弦的说法，创造了sin 和cos这样的符号.

　应当注意：单独写出三角函数的符号或cos等是没有意义的.因为它们离开了确定的锐角是无法显示出它的含义；另一方面，这些符号和角写在一起时（如），它表示的就不再是角，而是一个特定的三角形的两条边的比值了（如）.真正理解并掌握这些，才真正掌握了这些符号的含义，才能正确地运用它们.

　4．我们应当学会认识任何位置的直角三角形中的一个锐角的正弦、余弦的表达式.

　我们不仅应当熟练掌握如图那样的标准位置的直角三角形的正弦、余弦的表达式，而且能熟练地写出无论怎样放置的直角三角形的正弦、余弦的表达式.如，如图所示，若，则有

　有的直角三角形隐藏在更复杂的图形中，我们也应能正确地写出所需要的三角函数表达式，如图中，abcd是梯形，，作，我们应正确地写出如下的三角函数关系式：

　很显然，这些表达式提供给我们丰富的边与角间的数量关系.

　5．特殊角的正弦、余弦值既容易导出，也便于记忆，应当熟悉掌握它们.

　利用勾股定理，很容易求出含有或角的直角三角形三边的比；如图（1）和图（2）所示.

　根据定义，有

　另一方面，可以想像，当时，边与ac重合（即），所以

　当时，边ab与cb重合（即ab=cb），ac的长缩小为0，于是，有

　把以上结果可以集中列出下面的表：


	0				1
	1				0

　6．教法建议：

　（1）联系实际，提出问题

　通过修建扬水站时，要沿斜坡铺设水管而提出要求水管最顶端离地面高度的问题，第一步把这问题归结于直角三角形中，第二步，再把这个问题归于直角三角形中，已知一个锐角和斜边的长，求这个锐角所对直角边的一个几何问题．同时指出在这种情况下，用已学过的勾股定理是解决不了的．激发的学习兴趣，调动探索新途径，迫切需要学习新知识的积极性．在这章的第一节课，应抓住这个具有性，富于启发性的有利开端，为引进本章的重要内容：锐角三角函数作了十分必要的准备．

　(2) 动手度量、规律、给出定义以含的三角板为例让学生对大小不同的三角板进行度量，并引导得出规律：，再进一步对含的三角板进行度量，在探索同样的内容时，要用到勾股定理，又类似地得到，所有的这种等腰直角三角形中，都会得到 ,这时，应当即给出的正弦的定义及符号，即，再对照图形，分别用a、b、c表示、、的对边，得出及，就这样非常简洁地得到锐角三角函数的第一个定义，应充分利用课本中这种简练的处理手段，使建立起锐角三角函数的概念.

　(3)加强数形结合思想的教学

　“解直角三角形”编在几何教材中，突出了它的几何特点，但这只是从知识的系统性方面讲的，使它与几何前后知识可关系更紧密，便于学生理解和掌握，并没有改变它形数结合的本质，因此教学中要充分利用这部分教材，帮助掌握用代数方法解决几何问题的方法，提高在几何问题中注意运用代数知识的能力．

第一课时

　一、教学目标

　1. 使知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这一事实。

　2.逐步培养观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力。

　3.引导学生探索、发现，以培养独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯。

　二、学法引导

　1．教学方法：引导发现和探索研究相结合，尝试成功教法。

　2．学法：在教师的指导下，积极思维，相互讨论，动手感知，探索新知。

　三、重点、难点、疑点及解决办法

　1．重点：使知道当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的这一事实。

　2．难点：学生很难想到对任意锐角，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的事实，关键在于教师引导比较、分析，得出结论。

　3．疑点：无论直角三角形的锐角为何值，它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的。

　4．解决办法：教师引导比较、分析、讨论，解决重难点和疑点。

　四、教具准备

　自制投影片，一副三角板

　五、教学步骤

　（一）明确目标

　1．如图，长5米的梯子架在高为3米的墙上，则、间距离为多少米？

　2．长5米的梯子以倾斜角为30°靠在墙上，则、间的距离为多少？

　3．若长5米的梯子以倾斜角40°架在墙上，则、间距离为多少？

　4．若长5米的梯子靠在墙上，使、间距离为2米，则倾斜角为多少度？

　前两个问题学生很容易回答，这两个问题的设计主要是引起学生的回忆，并使学生意识到，本章要用到这些知识，但后两个问题的设计却使学生感到疑惑，这对初三年级这些好奇、好胜的学生来说，起到激起的学习兴趣的作用，同时使对本章所要学习的内容的特点有一个初步的了解，有些问题单靠勾股定理或含30°角的直角三角形和等腰直角三角形的知识是不能解决的，解决这类问题，关键在于找到一种新方法，求出一条边或一个未知锐角，只要做到这一点，有关直角三角形的其他未知边角就可用学过的知识全部求出来。

　通过四个例子引出课题。

　（二）整体感知

　1．请每一位同学拿出自己的三角板，分别测量并计算30°、45°、60°角的对边、邻边与斜边的比值。

　学生很快便会回答结果：无论三角尺大小如何，其比值是一个固定的值，程度较好的还会想到，以后在这些特殊直角三角形中，只要知道其中一边长，就可求出其他未知边的长。

　2．请同学画一个含40°角的直角三角形，并测量、计算40°角的对边、邻边与斜边的比值，学生又高兴地发现，不论三角形大小如何，所求的比值是固定的，大部分可能会想到，当锐角取其他固定值时，其对边、邻边与斜边的比值也是固定的吗？

　这样做，在培养学生动手能力的同时，也使学生对本节课要研究的知识有了整体感知，唤起的求知欲，大胆地探索新知。

　（三）教学过程

　 1．通过动手实验，学生会猜想到“无论直角三角形的锐角为何值，它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的”，但是怎样证明这个命题呢？学生这时的思维很活跃，对于这个问题，部分学生可能能解决它，因此教师此时应让展开讨论，独立完成。

　2．经过研究，也许能解决这个问题．若不能解决，教师可适当引导：

　若一组直角三角形有一个锐角相等，可以把其顶点，，重合在一起，记作，并使直角边，， ……落在同一条直线上，则斜边，， ……落在另一条直线上，这样同学们能解决这个问题吗？引导独立证明：易知， ……，∴ ∽ ∽ ∽……，∴ ，，因此，在这些直角三角形中，的对边、邻边与斜边的比值，是一个固定值。

　通过引导，使自己独立掌握了重点，达到知识教学目标，同时培养能力，进行了德育渗透。

　而前面导课中动手实验的设计，实际上为突破难点而设计。这一设计同时起到培养思维能力的作用。

　3．练习：教科书p3练习。此题为作了孕伏，同时使知道任意锐角的对边与斜边的比值都能求出来。

　（四）、扩展

　1．引导作知识：本节课在复习勾股定理及含30°角直角三角形的性质基础上，通过动手实验、证明，我们发现，只要直角三角形的锐角固定，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的。

　教师可适当补充：本节课经过同学们自己动手实验，大胆猜测和积极思考，我们发现了一个新的结论，相信大家的逻辑思维能力又有所提高，希望大家发扬这种创新精神，变被动学知识为主动发现问题，培养自己的创新意识。

　2．扩展：当锐角为30°时，它的对边与斜边比值我们知道，今天我们又发现，锐角任意时，它的对边与斜边的比值也是固定的，如果知道这个比值，已知一边求其他未知边的问题就迎刃而解了，看来这个比值很重要，下节课我们就着重研究这个“比值”，有兴趣的同学可以提前预习一下，通过这种扩展，不仅对下、余弦概念有了初步印象，同时又激发了的兴趣。

　六、布置作业

　本节课内容较少，而且是为正、余弦概念打基础的，因此课后应要求预习正余弦概念。

　七、板书设计

第二课时