圆的周长、弧长_九年级数学教案

圆周长、弧长(一)

　教学目标：

　1、初步掌握圆周长、弧长公式；

　2、通过弧长公式的推导，培养探究新问题的能力；

　3、调动学生的积极性，培养的钻研精神;

　4、进一步培养从实际问题中抽象出模型的能力，综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．

　教学重点：弧长公式．

　教学难点：正确理解弧长公式．

　教学活动设计：

　（一）复习（圆周长）

　已知⊙o半径为r，⊙o的周长c是多少？

c=2πr

　这里π=3.14159…，这个无限不循环的小数叫做圆周率．

　由于生产、生活实际中常遇到有关弧的长度计算，那么怎样求一段弧的长度呢？

　提出新问题：已知⊙o半径为r，求n°圆心角所对弧长．

　（二）探究新问题、归纳结论

　教师组织学生探讨（因为问题并不难，完全可以自己研究得到公式）．

　研究步骤：

　（1）圆周长c=2πr；

　（2）1°圆心角所对弧长= ；

　（3）n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长的n倍；

　（4）n°圆心角所对弧长= ．

　归纳结论：若设⊙o半径为r， n°圆心角所对弧长l，则

  （弧长公式）

　（三）理解公式、区分概念

　教师引导理解：

　（1）在应用弧长公式 进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；

　（2）公式可以理解记忆（即按照上面推导过程记忆）；

　（3）区分弧、弧的度数、弧长三概念．度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧也不一定是等孤，而只有在同圆或等圆中，才可能是等弧．

　（四）初步应用

　例1、已知：如图，圆环的外圆周长c₁=250cm，内圆周长c₂=150cm，求圆环的宽度d (精确到1mm)．

　 分析：（1）圆环的宽度与同心圆半径有什么关系？

　（2）已知周长怎样求半径？

　（独立完成）

　解：设外圆的半径为r₁，内圆的半径为r₂，则

　d= ．

　∵ ， ，

　∴ （cm）

　 例2，弯制管道时，先按中心线计算展直长度，再下料，试计算图所示管道的展直长度l(单位：mm，精确到1mm)

　教师引导把实际问题抽象成问题，渗透建模思想．

　解：由弧长公式，得

　 （mm）

　所要求的展直长度

　l （mm）

　答：管道的展直长度为2970mm．

　课堂练习：p176练习1、4题．

　（五）

　知识：圆周长、弧长公式；圆周率概念；

　能力：探究问题的方法和能力，弧长公式的记忆方法；初步应用弧长公式解决问题．

　（六）作业  教材p176练习2、3；p186习题3．

圆周长、弧长(二)

　教学目标：

　1、应用圆周长、弧长公式综合圆的有关知识解答问题；

　2、培养综合运用知识的能力和模型的能力；

　3、通过应用题的教学，向渗透理论联系实际的观点．

　教学重点：灵活运用弧长公式解有关的应用题．

　教学难点：建立模型．

　教学活动设计：

　（一）灵活运用弧长公式

　例1、填空：

　（1）半径为3cm，120°的圆心角所对的弧长是_______cm；

　（2）已知圆心角为150°，所对的弧长为20π，则圆的半径为_______；

　（3）已知半径为3，则弧长为π的弧所对的圆心角为_______．

　（独立完成，在弧长公式中l、n、r知二求一．）

　答案：（1）2π；（2）24；（3）60°．

　说明：使灵活运用公式，为综合题目作准备．

　练习：p196练习第1题

　（二）综合应用题

　例2、如图，两个皮带轮的中心的距离为2.1m，直径分别为0.65m和0.24m．(1)求皮带长(保留三个有效数字)；(2)如果小轮每分转750转，求大轮每分约转多少转．

　 教师引导建立模型：

　分析：（1）皮带长包括哪几部分（+dc++ab）；

　（2）“两个皮带轮的中心的距离为2.1m”，给我们解决此题提供了什么？

　（3）ab、cd与⊙o₁、⊙o₂具有什么位置关系？ab与cd具有什么数量关系？根据是什么？（ab与cd是⊙o₁与⊙o₂的公切线，ab=cd，根据的是两圆外公切线长相等．）

　（4）如何求每一部分的长？

　这里给学生考虑的时间和空间，充分发挥的主体作用．

　解：(1)作过切点的半径o₁a、o₁d、o₂b、o₂c，作o₂e⊥o₁a，垂足为e．

　∵o₁o₂=2.1， ， ，

　∴ ，

　∴ （m）

　∵ ，∴ ，

　∴的长l₁ （m）．

　∵，  ∴的长（m）．

　∴皮带长l=l₁+l₂+2ab=5.62（m）．

　（2）设大轮每分钟转数为n，则

， （转）

　答：皮带长约5.63m，大轮每分钟约转277转．

　说明：通过本题渗透建模思想，弧长公式的应用，求两圆公切线的方法和计算能力．

　巩固练习：p196练习2、3题.

探究活动

钢管捆扎问题

　已知由若干根钢管的外直径均为d，想用一根金属带紧密地捆在一起，求金属带的长度．

　请根据下列特殊情况，找出规律，并加以证明．

　提示：设钢管的根数为n，金属带的长度为ln如图：

　当n=2时，l₂=（π+2）d．

　当n=3时，l₃=（π+3）d．

　当n=4时，l₄=（π+4）d．

　当n=5时，l₅=（π+5）d．

　当n=6时，l₆=（π+6）d．

　当n=7时，l₇=（π+6）d．

　当n=8时，l₈=（π+7）d．

　猜测：若最外层有n根钢管，两两相邻接排列成一个向外凸的圈，相邻两圆是切，则金属带的长度为l=（π+n）d．

　证明略．