今年中考数学过关十大要素_中考数学

    上两讲强调了深抠概念,不断深化概念的重要性及数学概念与数学思维的关系,明确了数学概念是反映数学对象本质属性的思维形式,是构成判断、推理的要素,它使用的是“形式化的语言”,用特定的数学符号来表示。
    数学概念具有抽象性和具体性的双重特点,弄清楚概念的内涵和外延是正确思维的必要条件,也是判断、推理的基础,各种思维要素的合理使用,往往都脱离不开基本的数学概念,学好数学,一定要养成深抠概念的好习惯,把概念理解得生动、形象、具体、深入浅出。为达此目的,应强调数学概念“十要”:
    1.复杂概念要突出“关键词语”,如“映射”这个重要概念要抓住方向性:“从集合a到集合b”,同时还要抓住“任一”对应“唯一”。
    2.相应概念容易混淆,要注意类比,如排列与组合的差异是“序”,“截距”和“距离”的区别是“向”;二面角是图形,二面角的平面角是一个角。
    3.正反结合揭示概念的本质。如函数、反函数的概念,曲线和方程的概念,只有做两面思考,才能深入体会。再如反三角函数概念,实际上就是在指定单调区间上的三角函数与其反函数的关系。
    4.要注意概念的引入过程。如立体几何的任何一个概念的引入都有丰富的直观背景;排列组合问题用“对号入座法”或画树图都是在告诉我们如何思考,规律是怎样找到的。等差、等比数列前n项和公式的推导过程告诉我们“倒写求和法”和“错位相消法”。
    5.掌握新概念要注意温故知新。如充要条件是非常重要的数学概念,它只有在理解掌握四个命题的基础上,深入研究命题之间的相互关系,顺理成章把认识升华,树立起等价思想,才能学会用充要条件分析、认识、处理数学问题。简易逻辑关系是数学基础的一个“魂”。
    6.巩固和运用数学概念,特别是在运算、推理、选择、证明中,要注意自觉地让概念发生作用。如证函数的单调性、奇偶性、周期性,证明一个数列是等差(比)数列,用的方法都是“定义法”;解数学选择题经常通过“概念判断”否掉一些选项;学习好立体几何的标志是空间概念的形成。同学们一定要走出“学数学就是解题”的误区,掌握好“四基”:基本概念、基本运算、基本方法、基本应用,才是扎扎实实打基础。
    7.概念的抽象性是逐步加深、连续发展的,要抓住这一特点,不断深化自己对概念的理解,如平面几何中用两点间距离定义点到直线的距离,平行线间的距离,进而得到立体几何中的一大难点——异面直线的距离,对距离的认识一般化了,若把向量复数的模及解析几何中和距离有关的轨迹问题也纳入自己的认知范畴,则距离就“活”起来了。再如函数概念从具体的正比例函数、一次函数入手,逐步上升到一般的数值函数概念;从“变量之间的相互关系”,到两个集合间的“映射”,函数概念有层次地一次又一次地抽象,开始接近现代函数概念(只是开始接近,我们掌握的函数“三要素”并没有完全反映函数的本质特征),同学们学习了概率和微积分后,会感到随处定义和单值对应更能反映函数的本质特征。
    8.较难概念要逐步剖析,力求抽象问题具体化。如画树图,从两个圆的位置关系容易理解子集、交集、并集、补集、全集;简易逻辑“或”“且”“非”也容易从中找到答案。认识变量、掌握函数特点、掌握研究函数的方法,数形结合,立即化难为易。
    9.要注意发挥概念体系的整体功能。如函数是高中数学的纲,对函数的理解应用水平是学习高中数学成败的关键;对“曲线与方程”五个字的双向理解则抓住了全部解析几何的精髓。函数与方程的思想,数形结合思想,分类思想,化归或变换转化的思想是驾驭数学知识的灵魂,充分发挥这些概念体系的整体功能,就真正做到了大处着眼,学习效果会倍增。
    解法3:设空间中,直线a、b、c两两异面,过直线c有唯一的平面α与直线a平行,同样过直线c有唯一的平面β与直线b平行。然而过直线c有无穷多个平面与直线a、b都相交,且交点连线ab不平行于c(使ab∥c的平面至多只有一个),不妨设其中之一为平面γ,既然aa,bb,ab交直线c于c,故ab与a、b、c都相交,由γ的任意性,得知与直线a、b、c都相交的直线有无数条。
    [点拨评析]本题如借助平面d1dcc1或借助对角面a1acc1连d1f、a1c,易做出选择b的误断,本对考生的空间想象力及相关的基础知识进行了深层次的考查。解法1、2实际上是一种思维模式,即借助于空面,填充了大部分读者在空间想象方面力所不及的情境,须知,立体几何的整个知识体系是以“平面”为基石构建起来的,依照相关公理或推论,结合平面来研究问题,是顺理成章且必须遵循的准则,解法1解法2中确定平行pdc即是化解难点的“破冰之举”,解法3是针对本试题抽象化的一般形态,高度概括地给予说明,可谓思维层次更高一筹。
    例5:选之今年的数学解法研究点拨评析。一道似易实难的小题,经过上述三种解法对比,特别是经过点拨分析,你会感觉到,从一些最基础的知识和方法出发,经过的思维操作,你会感觉学后心中透亮许多,这正是“夯实基础”的重要。
    一动圆过定点(c,0),且与定圆(x+c)2+y2=4a2(a>0,c>0)相切,试分析各类情况求动圆圆心的轨迹。
    分析:定点(c,0)与已知圆的相应位置可分3种情况:①ac时,定点在定圆之内;③a=c时,定点在定圆上,将动圆与定圆相切的条件,转化为动圆圆心与定点和定圆中心距离的和差关系,则可根据椭圆、双曲线的定义,求出轨迹方程。
    解:(1)当a
    |pf2|-|pf1|=|pq|-|pf1|=2a(双曲线左支);
    当动圆p'与定圆f1外切时,切点为q',
    |p'f1|-|p'f2|=|p'f1|-|p'q'|=2a(双曲线右支)。
    ∴过定点f2的动圆p与定圆f1相切,则
    ||pf1|-|pf2||=2a
    ∴点p的轨迹为双曲线,f1、f2为焦点,焦距为2c,轨迹方程为
    ---=1
    (2)当a>c时,定点f2在定圆f1内,动圆p只能与定圆内切,切点为q,如图2。
    这时,|pf1|+|pf2|=|pf1|+|pq|=2a
    ∴点p的轨迹是椭圆,f1、f2为焦点,焦距为2c,轨迹方程为
    -+-=1
    (3)当a=c时,定圆f1恰过定点f2,如图:
    要使f2为切点,与定圆f1内切或外切的圆心p只能在f1f2的连线上,
    ∴轨迹为x轴本身,轨迹方程为y=0。将欲求的轨迹转变为已知的轨迹是研究轨迹问题的最基本的思维方法之一。从定义出发,经过概念辨析,轻松获解。当你感觉这类题好作,思路很清楚时,你的概念掌握真的过关了,概念真切,成了入门的先导。