数与代数_课改案例

1．"数与代数"的价值

牐牐"\'数与代数\'的内容主要包括数与式、方程与不等式、函数，它们都是研究数量关系和变化规律的模型，可以帮助人们从数量关系的角度更准确、清晰地认识、描述和把握现实世界。"（《标准》第11页）
这部分内容的价值主要体现在以下几个方面：
（1）能使体会到数学与现实生活的紧密联系，认识到数、符号是刻画现实世界数量关系的重要语言，方程、不等式与函数是现实世界的数学模型，从而认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，从中感受到数学的价值，初步学会运用的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活和其他学习中的问题，增强应用意识，培养初步的应用能力。
（2）在"数与代数"的学习过程中，通过对现实世界中数量关系及其变化规律的探索，数的概念的建立、扩充以及数的运算，公式的建立和推导，方程的建立和求解，函数关系的探究等活动，有助于促进对学习的兴趣，提高解决问题的能力和自信心，有利于培养初步的创新意识和发现能力。
（3）在"数与代数"中，不仅在知识中存在着对立和统一，例如正数与负数、加法与减法、乘方与开方、常量和变量、精确与近似等，而且在研究过程中也充满了对立与统一，例如已知与未知、特殊与一般、具体与抽象、实践与理论等。同时，在变量和函数的研究中充满着运动、变化的思想，而且在"数与代数"的其他部分的研究中，从运动和变化的观点来考察，也能使认识更加深刻。因此，这部分的学习，必将有助于培养学生的辩证唯物主义观点，有利于用的观点认识现实世界。
牐牎侗曜肌防砟钪傅枷碌氖与代数，将呈现给学生大量丰富的现实背景，并以学生已有的经验为出发点，关注知识的形成过程、关注学生的学习兴趣和自信心、关注探究和运用能力的发展，将改变"数与代数"这部分内容烦琐乏味的状况。
牐牎侗曜肌防砟钪傅枷碌氖与代数，将能够发展的数感、符号感、估算意识以及把现实问题数学化的能力，并使之逐渐形成理性的力量。字符表示的思想，深刻地揭示和指明存在于一类问题中的共性和普遍性，把认识和推理提到一个更高的水平。代数式、表格、图象等多种表示手段，不仅为表示和交流提供了有效的途径，而且为解决问题提供了重要的工具。
　　方程、不等式中反映的模型的思想和方法，将帮助人们更准确、更清晰地认识和描述现实世界，并解决有关的实际问题。凡此种种，都将对培养学生良好的素质、促进的全面发展具有重要的价值。

2．课程内容加强方面及其依据

牐犛氪统的数与代数的内容相比，虽然在某些标题表面看来似乎没有多大变化，但是，《标准》在"数与代数"各部分内容的具体要求和处理方式上，有了许多实质性的改变。究竟《标准》增加了哪些内容？加强了哪些方面？减少了哪些要求？淡化了哪些方面？为什么要作这样的改变？这些问题是我们领会《标准》、贯彻《标准》必须解决的。
先说加强的方面。
（1）强调通过实际情境使体验、感受和理解数与代数的意义
牐牎侗曜肌返淖芴迥勘曛刑岢觯要让"经历将一些实际问题抽象为数与代数问题的过程，掌握数与代数的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题。""经历运用符号和图形描述现实世界的过程，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维。"（《标准》第6页）
　　 "经历"是数学学习的过程性目标，是指"在特定的数学活动中，获得一些初步的经验"。让学生经历就必须有一个实际的情境，使在实际情境中通过活动体会数学、了解数学、认识。
牐 "数与代数"的重要概念，例如数、代数式、方程、不等式、函数等等，都是从人们生活和生产的需要中产生和发展起来的。数与代数本身具有抽象性，但所反映的内容又是非常现实的，与人们的生活、生产有着十分密切的联系。数与代数的学习不仅要使学生掌握必要的知识和技能，更重要的是要使在学习过程中体验、感受、理解这些知识的来源、现实背景和本质，形成数感和符号感，认识数学与生活的密切联系，了解的价值，提高提出问题、分析问题和解决问题的能力。因此，数与代数的学习内容应当是现实的、有趣的、富有挑战性的，应该通过实际情境使学生了解数与代数的意义，让经历探索和发现的过程，在现实背景下感受和体验有关的知识。
牐犜诘谝谎Ф沃校《标准》提出："在教学中，要引导联系自己身边具体、有趣的事物，通过观察、操作、解决问题等丰富的活动，感受数的意义，体会数用来表示和交流的作用，初步建立数感。（《标准》第12页）
牐犜诘诙学段中，《标准》提出："教学时，应通过解决实际问题进一步培养学生的数感，增进学生对运算意义的理解；""应使经历从实际问题中抽象出数量关系，并运用所学知识解决问题的过程"（《标准》第20页）
牐犜诘谌学段中，《标准》提出："在教学中，应注重让学生在实际背景中理解基本的数量关系和变化规律，注重使经历从实际问题中建立模型、估计、求解、验证解的正确性与合理性的过程，应加强方程、不等式、函数等内容的联系，介绍有关代数内容的几何背景。"（《标准》第31页）
牐牎侗曜肌吩诟餮Ф问与代数内容的具体目标中更是十分强调这一点，诸如"在具体情境中认识…"、"结合现实情境感受…"、"通过具体问题认识…"、"在解决具体问题的过程中体会…"、"能找出生活中的…，并进行交流"等等提法在《标准》的叙述中随处可见。
牐犂如，对于"数的认识"，《标准》在第一学段中，提出这样的要求："结合现实感受大数的意义，并能进行估计"："能结合具体情境初步理解分数在意义；""能运用数表示日常生活中的一些事物，并进行交流。"（《标准》第12页）在第二学段又提出"在熟悉的生活情境中，了解负数的意义，会用负数表示一些日常生活中的问题"；"结合现实情境感受大数的意义，并能进行估计"；"进一步体会数在日常生活中的作用，会运用数表示事物，并能进行交流。"（《标准》第20页）
牐牰杂"数的运算"，《标准》在第一学段提出这样的要求："结合具体情境，体会四则运算的意义；""能结合具体情境进行估算，并解释估算的过程；""经历与他人交流各自算法的过程""能灵活运用不同的方法解决生活中的简单问题，并能对结果的合理性进行判断。"（《标准》第13
页）在第二学段又提出"能结合现实素材理解运算顺序，并进行简单的整数四则混合运算"；"在具体运算和解决简单实际问题的过程中，体会加与减、乘与除的互逆关系"；"在解决具体问题的过程中，能选择合适的估算方法，养成估算的习惯。"（《标准》第21页）
　　对于"式与方程"，《标准》在第二学段中，提出这样的要求："在具体情境中会用字母表示数"；"会用方程表示简单情境中的等量关系"。（《标准》第21页）
　　在第三学段中，对于"数与式"，《标准》提出这样的要求："在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义"；"能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示"；"能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义"。（《标准》第32页）
　　对于"方程与不等式"，《标准》提出这样的要求："能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的模型"；"经历用观察、画图或计算器等手段估计方程解的过程"；"能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理"；"能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义，并探索不等式的基本性质"；"能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式和一元一次不等式组，解决简单的问题。"（《标准》第33页）
　　对于"函数"，《标准》提出这样的要求："探索具体问题中的数量关系和变化规律"；"通过简单实例，了解常量、变量的意义"；"能结合实例，了解函数的概念和三种表示方法，能举出函数的实例"；"能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析"；"能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系"；"结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测"；"结合具体情境体会一次函数的意义"；"能用一次函数解决实际问题"；"结合具体情境体会反比例函数的意义"；"能用反比例函数解决某些实际问题"；"通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义"；（《标准》第33-34页）
　　以上列举《标准》中对于数与代数内容的具体目标，既是对有关内容的要求，也反映了学习有关内容的过程。
　　按照《标准》的这些要求，在教材编写和教学中，应该充分认识通过现实情境来理解有关概念的意义，提供切合实际的问题情境。在《标准》中，每一学段提供了相当多的"案例"，在"数与代数"中，这些案例可以说多半是关于这方面的。如第一学段"数与代数"总共8个案例，其中6个案例（例2-例7，《标准》第13-14页）是说明上述要求的，第二学段中的例1-4、例6和例8(《标准》第22-23页)，第三学段中的例1、例3-5和例8-10(《标准》第35-36页)也都是反映这些要求的。通过这些案例，我们可以更好地领会和贯彻这些要求。
（2）增强应用意识，渗透建模思想
　　对于发展新课程来说，最重要的是使真正理解数学。在这个意义下，数学建模和应用被证明是非常成功的。（niss，1989）
　　《标准》在第三部分"内容标准"的一开始就指出："\'数与代数\'的内容主要包括数与式、方程与不等式、函数，它们都是研究数量关系和变化规律的模型，可以帮助人们从数量关系的角度更准确、清晰地认识、描述和把握现实世界。"（标准）第11页）
　　《标准》还强调指出"…体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数知识与方法解决问题的能力"；"在教学中，应注重让学生在现实背景中理解基本的数量关系和变化规律，注重使经历从实际问题中建立模型、估计、求解、验证解的正确性与合理性的过程，…"（《标准》第31页）
　　众所周知，数学有着广泛的应用，这是数学的基本特征之一。随着生产和科学技术的不断发展，特别是20世纪40年代以来，计算机的产生与飞速发展，为数学的应用通过了广阔的前景。应用数学的地位日益上升，数学建模成了和工作者面临的重大课题。
　　一百年前，就有许多数学家和数学教育家提出了"注重应用"的口号，并提出了许多具体的建议。20世纪80年代，美国提出了"问题解决"（problem solving）的口号，并为各国教育界所普遍接受。在这样的背景下，在学校中，相对于大量的数学计算和推理，相对于数学知识和技能的积累，数学的应用，或者说建模的作用显得越来越重要了。
　　那么，什么是数学模型呢？按照徐利治先生在《方法论选讲》一书中的提法，可以做这样的解释：
　　所谓数学模型，是指针对或参照某种事物的特征或数量相依关系, 采用形式化的数学语言, 概括地或近似地表述出来的一种结构。
　　徐利治先生在该书中还对数学模型作了广义解释：凡一切数学概念、数学理论体系、各种数学公式、各种方程（代数方程、函数方程、微分方程、差分方程、积分方程┄┄）以及由公式系列构成的算法系统等等都可称之为模型。

建模的过程，大致可用如下框图来说明；

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