概率的基本性质教案1_高二数学教案

使用教材：人教版必修3

教学内容：1、事件间的关系及运算       2、概率的基本性质

教学目标：1、了解事件间各种关系的概念，会判断事件间的关系；

          2、了解两个互斥事件的概率加法公式，知道对立事件的公式，会用公式进行简单的概率计算；

          3、通过学习，进一步体会概率思想方法应用于实际问题的重要性。

教学的重点：事件间的关系，概率的加法公式。

教学的难点：互斥事件与对立事件的区别与联系。

教学的具体过程：

引入：上一次课我们学习了概率的意义，举了生活中与概率知识有关的许多实例。今天我们要来研究概率的基本性质。在研究性质之前，我们先来一起研究一下事件之间有什么关系。

一、事件的关系与运算

做掷骰子的实验，思考，回答该试验包含了哪些事件（即可能出现的结果）

学生可能回答：﹛出现的点数＝1﹜记为c₁， ﹛出现的点数＝2﹜记为c₂， ﹛出现的点数＝3﹜记为c₃， ﹛出现的点数＝4﹜记为c₄， ﹛出现的点数＝5﹜记为c₅， ﹛出现的点数＝6﹜记为c₆.

老师：是不是只有这6个事件呢？请大家思考，﹛出现的点数不大于1﹜（记为d₁）是不是该试验的事件？（学生回答：是）类似的，﹛出现的点数大于3﹜记为d₂，﹛出现的点数小于5﹜记为d₃，﹛出现的点数小于7﹜记为e，﹛出现的点数大于6﹜记为f，﹛出现的点数为偶数﹜记为g，﹛出现的点数为奇数﹜记为h，等等都是该试验的事件。 那么大家思考一下这些事件之间有什么样的关系呢？

1、  学生思考若事件c₁发生（即出现点数为1），那么事件h是否一定也发生？

学生回答：是，因为1是奇数

   我们把这种两个事件中如果一事件发生，则另一事件一定发生的关系，称为包含关系。具体说：一般地，对于事件a和事件b，如果事件a发生，则事件b一定发生，称事件b包含事件a（或事件a包含于事件b），记作 （或 ）

特殊地，不可能事件记为 ，任何事件都包含 。

练习：写出  d₃与e的包含关系（d₃ e）

2、再来看一下c₁和d₁间的关系：先考虑一下它们之间有没有包含关系？即若c₁发生，d₁

是否发生？（是，即c₁ d₁）；又若d₁发生，c₁是否发生？（是，即d₁  c₁）

   两个事件a，b中，若 ，那么称事件a与事件b相等，记作a＝b。所以c₁ 和d₁相等。

   “下面有同学已经发现了，事件的包含关系和相等关系与集合的这两种关系很相似，很好，下面我们就一起来考虑一下能不能把事件与集合做对比。”

试验的可能结果的全体    ←→     全集

          ↓                       ↓

      每一个事件        ←→     子集

这样我们就把事件和集合对应起来了，用已有的集合间关系来分析事件间的关系。

3、集合之间除了有包含和相等的关系以外，还有集合的并，由此可以推出相应的，事件a和事件b的并事件，记作a∪b，从运算的角度说，并事件也叫做和事件，可以记为a+b。我们知道并集a∪b中的任一个元素或者属于集合a或者属于集合b，类似的事件a∪b发生等价于或者事件a发生或者事件b发生。

   练习：g∪d₃ ＝？g＝﹛2，4，6﹜，d₃ ＝﹛1，2，3，4﹜，所以g∪d₃ ＝﹛1，2，3，4，6﹜。若出现的点数为1，则d₃发生，g不发生；若出现的点数为4，则d₃和g均发生；若出现的点数为6，则d₃不发生，g发生。

由此我们可以推出事件a+b发生有三种情况：a发生，b不发生；a不发生，b发生；a和b都发生。

4、集合之间的交集a∩b，类似地有事件a和事件b的交事件，记为a∩b，从运算的角度说，交事件也叫做积事件，记作ab。我们知道交集a∩b中的任意元素属于集合a且属于集合b，类似地，事件a∩b发生等价于事件a发生且事件b发生。

  练习：d₂∩h＝？（﹛大于3的奇数﹜＝c₅）

5、事件a与事件b的交事件的特殊情况，当a∩b＝ （不可能事件）时，称事件a与事件b互斥。（即两事件不能同时发生）

6、在两事件互斥的条件上，再加上事件a∪事件b为必然事件，则称事件a与事件b为对立事件。（即事件a和事件b有且只有一个发生）

   练习：⑴请在掷骰子试验的事件中，找到两个事件互为对立事件。（g,h）

         ⑵不可能事件的对立事件

7、集合间的关系可以用venn图来表示，类似事件间的关系我们也可以用图形来表示。

：                    a＝b：

a∪b：                  a∩b： 

a、b互斥：            a、b对立：

8、区别互斥事件与对立事件：从图像上我们也可以看出对立事件是互斥事件的特例，但互斥事件并非都是对立事件。

  练习：⑴书p121练习题目4、5

        ⑵判断下列事件是不是互斥事件？是不是对立事件？

①     某射手射击一次，命中的环数大于8与命中的环数小于8；

②     统计一个班级数学期末考试成绩，平均分不低于75分与平均分不高于75分；

③     从装有3个红球和3个白球的口袋内任取2个球，至少有一个白球和都是红球。  

      答案：①是互斥事件但不是对立事件；②既不是互斥事件也不是对立事件

            ③既是互斥事件有是对立事件。

二、概率的基本性质：

提问：频率＝频数\试验的次数。

我们知道当试验次数足够大时，用频率来估计概率，由于频率在0～1之间，所以，可以得到概率的基本性质：

1、任何事件的概率p(a)，0≦p(a)≦1             

2、那大家思考，什么事件发生的概率为1，对，记必然事件为e，p(e)＝1

3、记不可能事件为f，p(f)＝0

4、当a与b互斥时，a∪b发生的频数等于a发生的频数加上b发生的频数，所以

= + ,所以p（a∪b）＝p(a)＋p(b)。

5、特别地，若a与b为对立事件，则a∪b为必然事件，p(a∪b)＝1＝p(a)＋p(b)→p(a)＝1－p(b)。

  例题：教材p121例

  练习：由经验得知，在某建设银行营业窗口排队等候存取款的人数及其概率如下：

计算：（1）至多20人排队的概率；

     （2）至少11人排队的概率。

三、课堂小结：

1、把事件与集合对应起来，掌握事件间的关系，如下表

2、概率的基本性质：（1）0≦p(a)≦1       （2）概率的加法公式

四、课后思考：概率的基本性质4，若把互斥条件去掉，即任意事件a、b，则p（a∪b）＝p(a)＋p(b)－p（ab）