幂函数教案1_高一数学教案

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学习要求

1．了解幂函数的概念，会画出幂函数 的图象，根据上述幂函数的图象，了解幂函数的变化情况和性质；；

2．了解几个常见的幂函数的性质，会用它们的单调性比较两个底数不同而指数相同的指数值的大小；

     3．进一步体会数形结合的思想．

自学评价

1．幂函数的概念：一般地，我们把形如 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 是常数；

注意：幂函数与指数函数的区别．

2.幂函数的性质：

（1）幂函数的图象都过点 ；

（2）当 时，幂函数在 上单调递增；当 时，幂函数在 上 单调递减；

（3）当 时，幂函数是 偶函数  ；

当 时，幂函数是 奇函数 ．

【精典范例】

例1：写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：

（1）      （2）    

（3）     （4）

（5）  （6）

分析：求幂函数的定义域，宜先将分数指数幂写成根式，再确定定义域；

【解】（1）此函数的定义域为r，         

（2）

∴此函数的定义域为   

此函数的定义域不关于原点对称

此函数为非奇非偶函数．

（3）

∴此函数的定义域为

∴此函数为偶函数

（4）

∴此函数的定义域为

    ∴此函数为偶函数

（5）

∴此函数的定义域为

此函数的定义域不关于原点对称

∴此函数为非奇非偶函数

（6）   

 ∴此函数的定义域为

 ∴此函数既是奇函数又是偶函数

点评: 熟练进行分数指数幂与根式的互化，是研究幂函数性质的基础．

例2：比较大小：

（1）   （2）

（3）

（4）

分析：抓住各数的形式特点，联想相应函数的性质，是比较大小的基本思路．

【解】（1）∵ 在 上是增函数， ，∴          

（2）∵ 在 上是增函数，

，∴

（3）∵ 在 上是减函数，

，∴ ；

∵ 是增函数， ，

∴ ；

综上，  

（4）∵ ， ， ，

∴

点评: 若两个数是同一个函数的两个函数值，则可用函数的单调性比较大小；若两个数不是同一个函数的函数值，则可利用0，1等数架设桥梁来比较大小．

追踪训练一

1．在函数（1） （2） （3） ，（4） 中，是幂函数序号为   （1）    ．

2.已知幂函数 的图象过 ，试求出这个函数的解析式；

答案：

3．求函数 的定义域．

答案：

【选修延伸】

一、幂函数图象的运用

例3：已知 ，求 的取值范围．

【解】在同一坐标系中作出幂函数 和 的图象，可得 的取值范围为 ．

点评:数形结合的运用是解决问题的关键．

二、幂函数单调性的证明

例4: 证明幂函数 在 上是增函数．

分析：直接根据函数单调性的定义来证明．

【解】证：设 ，

则

   即

此函数在 上是增函数

追踪训练二

1．下列函数中，在区间 上是单调增函数的是                      （ b  ）

a．    b．

c．          d．

2．函数 的值域是      （ d  ）

a．   b．   c．   d．

3．若 ，则 的取值范围是  （ c  ）

a．   b．   c．   d．

4．证明：函数 在 上是减函数．

证：略．