说课—《等差数列前n项和的公式》_高一数学教案

教学目标

　a、知识目标：

　掌握等差数列前n项和公式的推导方法；掌握公式的运用。

　b、能力目标：

　（1）通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力。

　（2）利用以退求进的思维策略，遵循从特殊到一般的认知规律，让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出等差数列的求和公式，培养类比思维能力。

　（3）通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析，培养学生思维的灵活性，提高分析问题和解决问题的能力。

　c、情感目标：（文化价值）

　（1）公式的发现反映了普遍性寓于特殊性之中，从而使受到辩证唯物主义思想的熏陶。

　（2）通过公式的运用，树立"大众教学"的思想意识。

　（3）通过生动具体的现实问题，令人着迷的数学史，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学好数学的心理体验，产生热爱的情感。

教学重点：等差数列前n项和的公式。

教学难点：等差数列前n项和的公式的灵活运用。

教学方法：启发、讨论、引导式。

教具：现代多媒体技术。

教学过程

　一、创设情景，导入新课。

　师：上几节，我们已经掌握了等差数列的概念、通项公式及其有关性质，今天要进一步研究等差数列的前n项和公式。提起数列求和，我们自然会想到德国伟大的数学家高斯"神速求和"的，小高斯上小学四年级时，一次教师布置了一道习题："把从1到100的自然数加起来，和是多少？"年仅10岁的小高斯略一思索就得到答案5050，这使教师非常吃惊，那么高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？如果大家也懂得那样巧妙计算，那你们就是二十世纪末的新高斯。（教师观察的表情反映，然后将此问题缩小十倍）。我们来看这样一道一例题。

　例1，计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10.

　这道题除了累加计算以外，还有没有其他有趣的解法呢？小组讨论后，让自行发言解答。

　生1:因为1+10=2+9=3+8=4+7=5+6，所以可凑成5个11，得到55。

　生2：可设s=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10，根据加法交换律，又可写成　　s=10+9+8+7+6+5+4+3+2+1。

　上面两式相加得2s=11+10+......+11=10×11=110
　　　　　　　　　　　　　　　10个

　所以我们得到s=55，

　即1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55

　师：高斯神速计算出1到100所有自然数的各的方法，和上述两位同学的方法相类似。

　理由是：1+100=2+99=3+98=......=50+51=101，有50个101，所以1+2+3+......+100=50×101=5050。请同学们想一下，上面的方法用到等差数列的哪一个性质呢？

　生3：数列{a_n}是等差数列，若m+n=p+q，则am+an=a_p+a_q.

　二、教授新课（尝试推导）

　师：如果已知等差数列的首项a₁，项数为n，第n项a_n，根据等差数列的性质，如何来导出它的前n项和sn计算公式呢？根据上面的例子同学们自己完成推导，并请一位板演。

　生4：sn=a₁+a₂+......a_n-1+a_n也可写成

　sn=a_n+a_n-1+......a₂+a₁

　两式相加得2sn=（a₁+a_n)+(a₂+a_n-1)+......(a_n+a₁)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　n个

　　　　　　　=n(a₁+a_n)

　　　　　所以sn=(i)

　师：好！如果已知等差数列的首项为a₁，公差为d，项数为n，则a_n=a₁+(n-1)d代入公式(1)得
sn=na₁+ d(ii)

　上面（i）、（ii）两个式子称为等差数列的前n项和公式。公式（i）是基本的，我们可以发现，它可与梯形面积公式（上底+下底）×高÷2相类比，这里的上底是等差数列的首项a₁，下底是第n项a_n，高是项数n。引导：这些公式中出现了几个量？（a₁，d，n，a_{n，sn），它们由哪几个关系联系？[an=a1+(n-1)d，sn==na1+ d]；这些量中有几个可自由变化？（三个）从而了解到：只要知道其中任意三个就可以求另外两个了。下面我们举例说明公式（i）和（ii）的一些应用。}

　三、公式的应用（通过实例演练，形成技能）。

　1、直接代公式（让迅速熟悉公式，即用基本量观点认识公式）例2、计算：

　（1）1+2+3+......+n

　（2）1+3+5+......+(2n-1)

　（3）2+4+6+......+2n

　（4）1-2+3-4+5-6+......+(2n-1)-2n

　请同学们先完成（1）-（3），并请一位同学回答。

　生5：直接利用等差数列求和公式（i），得

　（1）1+2+3+......+n=

　（2）1+3+5+......+(2n-1)=

　（3）2+4+6+......+2n==n(n+1)

　师：第（4）小题数列共有几项？是否为等差数列？能否直接运用sn公式求解？若不能，那应如何解答？小组讨论后，让发言解答。

　生6：（4）中的数列共有2n项，不是等差数列，但把正项和负项分开，可看成两个等差数列，所以

　原式=[1+3+5+......+(2n-1)]-(2+4+6+......+2n)

　　　=n^2-n(n+1)=-n

　生7：上题虽然不是等差数列，但有一个规律，两项结合都为-1，故可得另一解法：
　　原式=-1-1-......-1=-n
　　　　　　　n个

　师：很好！在解题时我们应仔细观察，寻找规律，往往会寻找到好的方法。注意在运用sn公式时，要看清等差数列的项数，否则会引起错解。

　例3、（1）数列{a_n}是公差d=-2的等差数列，如果a₁+a₂+a₃=12，a₈+a₉+a₁₀=75，求a1，d，s10。

　生8：（1）由a₁+a₂+a₃=12得3a₁+3d=12，即a₁+d=4

　　　　又∵d=-2，∴a₁=6

　　　　∴s12=12 a₁+66×（-2）=-60

　生9：（2）由a₁+a₂+a₃=12，a₁+d=4
　　　　　　a₈+a₉+a₁₀=75，a₁+8d=25

　解得a₁=1，d=3 ∴s10=10a₁+=145

　师：通过上面例题我们掌握了等差数列前n项和的公式。在sn公式有5个变量。已知三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量（知三求二），请同学们根据例3自己编题，作为本节的课外练习题，以便下节课交流。

　师：（继续引导，将第（2）小题改编）

　①数列{a_n}等差数列，若a₁+a₂+a₃=12，a₈+a₉+a₁₀=75，且sn=145，求a₁，d，n

　②若此题不求a₁，d而只求s10时，是否一定非来求得a₁，d不可呢？引导运用等差数列性质，用整体思想考虑求a₁+a₁₀的值。

　2、用整体观点认识sn公式。

　例4，在等差数列{a_n}， （1）已知a₂+a₅+a₁₂+a₁₅=36，求s16；（2）已知a₆=20，求s11。（教师启发解）

　师：来看第（1）小题，写出的计算公式s16==8(a₁+a₆)与已知相比较，你发现了什么？

　生10：根据等差数列的性质，有a₁+a₁₆=a₂+a₁₅=a₅+a₁₂=18，所以s16=8×18=144。

　师：对！（简单小结）这个题目根据已知等式是不能直接求出a₁，a₁₆和d的，但由等差数列的性质可求a₁与a_n的和，于是这个问题就得到解决。这是整体思想在解问题的体现。

　师：由于时间关系，我们对等差数列前n项和公式sn的运用一一剖析，引导观察当d≠0时，sn是n的二次函数，那么从二次（或一次）的函数的观点如何来认识sn公式后，这留给同学们课外继续思考。

　最后请大家课外思考sn公式（1）的逆命题：

　已知数列{a_n}的前n项和为sn，若对于所有自然数n，都有sn=。数列{a_n}是否为等差数列，并说明理由。

　四、小结与作业。

　师：接下来请同学们一起来小结本节课所讲的内容。

　生11：1、用倒序相加法推导等差数列前n项和公式。

　2、用所推导的两个公式解决有关例题，熟悉对sn公式的运用。

　生12：1、运用sn公式要注意此等差数列的项数n的值。

　2、具体用sn公式时，要根据已知灵活选择公式（i）或（ii），掌握知三求二的解题通法。

　3、当已知条件不足以求此项a1和公差d时，要认真观察，灵活应用等差数列的有关性质，看能否用整体思想的方法求a1+an的值。

　师：通过以上几例，说明在解题中灵活应用所学性质，要纠正那种不明理由盲目套用公式的学习方法。同时希望大家在学习中做一个有心人，去发现更多的性质，主动积极地去学习。

　本节所渗透的方法；观察、尝试、分析、归纳、类比、特定系数等。

　思想：类比思想、整体思想、方程思想、函数思想等。

　作业：p49：13、14、15、17