平行四边形的识别的进一步探索_数学论文

平行四边形的识别的进一步探索

长沙市芙蓉区马王堆中学   曾志明

我们知道，两组对边分别平行，或者一组对边平行且相等，或者两组对边分别相等，或者两组对角分别相等，或者对角线互相平分的四边形是平行四边形。那么，一组对边相等，一组对角相等的四边形是不是平行四边形呢？下面，我们就此进行探索。

以下，我们总设在四边形abcd中，∠a=∠c，ad=bc。

1．  若∠a=∠c=rt∠                                             

在rt△abd和rt△cdb中    

   bd=db

   ad=bc

∴rt△abd≌rt△cdb  (hl)                        

∴∠1=∠2                                          b                    c

∴ad∥bc

而 已知ad=bc

∴四边形abcd是平行四边形。

2．  若∠a=∠c﹥rt∠

连结bd，分别过d、b向ab、cd作垂线de、bf；e、f为垂足

∵∠1=∠2                                                e

而 de⊥be、bf⊥df

∴∠e=∠f=rt∠                                     a                     d

又 ad=bc                    

∴△ade≌△cbf     （aas）                        

∴de=bf                                           5

在rt△bde和rt△dbf中                       b                     c

   de=bf

   bd=db

∴rt△bde≌rt△dbf  （hl）                                    f

∴∠5=∠6

由三角形内角和定理。得

  ∠7=∠8

∴ad∥bc

而 已知ad=bc

∴四边形abcd是平行四边形

3．  若∠a=∠c﹤rt∠

先作等腰△dag，使da=dg。作dh⊥ag，h为垂足，在ah上取点b（不与a、h重合）。使bg﹤dg连结db，并作db的中垂线ef

∵bg﹤dg

∴点g不在ef上

作点g关于ef的对称点c，连结bc，dc。

（1）∵△cdb与△gbd关于ef对称

∴∠g=∠c     dg=bc

而∠a=∠g     da=dg                             d

∴∠a=∠c，da=bc

另外bg﹤dg

∴∠gdb﹤∠gbd                                                   c

∴∠abc=∠abd+∠dbc                        e               

=∠abd+∠gdb                                               

﹤∠abd+∠gbd                                               f    

=180°                     a            

即∠abc﹤180°                               b   h             g

故四边形abcd是满足条件的四边形

即一组对角相等（∠a=∠c ）

一组对边相等（ da=bc ）

（2）∵b在ah上，且不与a、h重合

     ∴ab﹤bg

     而bg=dc

     ∴ab﹤dc

    故四边形abcd不是平行四边形。

综上所述，一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形