正多边形作图教案(一)_七年级数学教案
尺规等分圆周是重点，特别是将圆周四等分、六等分更为重要．
正n边形的中心角是多少？正六边形的边长是多少？
前面我们讲过，任意一个正n边形都有一个外接圆，并且正n边形的n个顶点把圆n等分．因此，正n边形的作图问题，实质上就是把它的外接圆n等分问题，把圆n等分后，依次连结各分点就得到正n边形．这节课我们主要学习如何把圆周三、六、十二、四、八等分．
等分圆周的方法有两种：
1．使用量角器法
n等份，从而把圆周分成n等份，依次连结各分点，即得到圆内接正n边形．
由于在度量正n边形的中心角时易有误差，所以使用量角器法是近似等分圆周的方法，在精确度要求不高的情况下可以使用量角器法．
2．尺规作图法
由于受尺规作图的限制，不能用尺规任意等分圆周，只能对于一些特殊的正n边形采用尺规作图法．尺规作图法比较准确．
(1)正四、八边形的作图；
正四边形的作法：
如图1，①作直径ac⊥bd；
②依次连结ab、bc、cd、da．
则四边形的abcd即为所求作的正四边形．
证明：∵直径ac⊥bd，
∴∠aob=∠boc=∠cod=∠doa=90°，
∴a、b、c、d是⊙o的四等分点，
∴四边形abcd是正四边形．
正八边形的作法：
如图2，①作直径ac⊥bd；
②作∠aob、∠boc的平分线交⊙o于e、f点．
③延长eo、fo交⊙o于g、h点；
④依次连结ae、eb、bf、fc、cg、gd、dh、ha．
则八边形aebfcgdh即为所求作的正八边形．
证明：∵直径ac⊥bd，
∴∠aob=∠boc=∠cod=∠doa=90°
∵ oe、of分别平分∠aob、∠boc，
∴∠1=∠2=∠3=∠4．
∵ ∠1=∠5，∠2=∠6，∠3=∠7，∠4=∠8，
∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=∠6=∠7=∠8，
∴八边形aebfcgdh为正八边形．
(2)正六、三、十二边形的作图
正六边形的作法：
如图3，①作直径ad；
②分别为a、d为圆心，以⊙o半径oa为半径画弧交⊙o于b、f、c、e；
③依次连结ab、bc、cd、de、ef、fa．
则六边形abcdef即为所求作的正六边形．
证明：连结ob、oc、oe、of．
∵ab=oa=ob，
∴∠1=60°
同理 ∠2=∠3=∠4=60°．
∵∠aod=180°，
∴∠5=∠6=60°．
∴∠1=∠5=∠3=∠4=∠6=∠2．
∴六边形abcdef是正六边形．
正三角形的作法：
如图4，①作直径ad；
②以d为圆心，以⊙o半径为半径画弧交⊙o于b、c点；
③依次连结ab、bc、ca．
则△abc即为所求作的正三角形．
证明：连结ob、oc、bd、cd．
∵bd=do=ob，
∴∠bod=60°．
同理 ∠doc=60°
∴∠boc=120°．
∵∠aod=180°，
∴∠aob=∠aoc=120°．
∵ ∠aob=∠boc=∠coa，
则△abc为正三角形．
说明：利用二等分三角形各中心角的方法也可以得到正六边形，但是这样产生的误差较大．
正十二边形的作法：
如图5，①作直径ag⊥dq；
②分别以a、d、g、q为圆心，以⊙o半径为半径画弧分别交⊙o于c、r、b、f、e、p、h、s点；
③依次连结ab、bc、cd、de、…、sa．
则十二边形abcd……s即为所求作的正十二边形．
证明：连结ac、ob、oc、oe、…、os．
∵ac=oa=oc，
∴∠aoc=60°．
∵直径ag⊥dq，
∴∠aod=90°，
∴∠cod=30°．
同理 ∠aob=30°，
∴∠boc=30°．
同理 ∠doe=…=∠soa=30°．
∴∠aob=∠boc=∠cod=∠doe=…=∠soa，
∴十二边形abcde…s为正十二边形．
说明：这里介绍的正十二边形的作法，比起利用二等分正六边形的各中心角的方法作正十二边形较为精确．
当然，如果把正八边形、正十二边形的各中心角二等分，那么也可以作出正十六边形、正二十四边形，但这样作误差可能大些．
注意：在用尺规作正多边形时，为了减少累积误差，应尽量避免从圆上某一点开始连续截取等弧的方法．
小结：这节课我们着重研究了用尺规作特殊的正多边形的方法．通过作图，大家进一步体会到作正n边形的实质就是将圆n等分的问题．在生产实践中，常常会遇到等分圆周的问题，所以希望大家一定要掌握好这些基本的正多边形的作法．
1．用量角器画一个半径为2cm的正五边形，再作出这个正五边形的各条对角线，画出正五角星．
2．(1)画一个半径为2cm的正九边形；
(2)画一个边心距为2cm的正六边形．
3．尺规作图：
(1)作半径为2cm的⊙o内接正八边形；
(2)作半径为2cm的⊙o内接正十二边形．
4．已知⊙o和⊙o上的一点a，
(1)作⊙o的内接正方形abcd和内接正六边形aefcgh；
作业答案：(略)．