基本作图_高二数学教案
教学目标
1．熟练运用尺规完成四种基本作图，并会写出已知、求作和作法．
2．培养准确的语言表达能力．
教学重点和难点
重点是掌握四种基本作图；难点是用准确精练的几何语言叙述作图过程．
教学过程设计
一、作图的预备知识
1．明确尺规作图和基本作图的含义．
教师应着重强调尺规作图与以前画图的区别，如解释以前角平分线，垂线、平行线的画法为什么不符合尺规作图的要求．
2．常用的作图语句的练习．
(1)如图1(a)，平面上有三点a，b，c，按下列要求完成作图：
①过点a，点b作直线ab(简称“作直线ab”)；
②作射线ca；
③延长bc到d，使 cd=bc；
④在线段ba上截取bh=bc；
⑤连结两点h，c(简称“连结hc”)．
答案见图1(b)．
(2)如图1(c)，按下列要求完成作图：
①以点d为圆心，ad为半径作弧交dc于e；
②分别以点b，c为圆心，dc为半径作弧，两弧交于点f，g．
以上为七种基本语句．
二、思考并实现四种基本作图
1．作一个角等于已知角．
(1)教师带领分析标题，分清已知、求作，并用符号表示．注意“求作”中先写出作什么图形，再写出它所需满足的条件．
已知∠aob(如图2(a))．求作：∠a′o′b′，使∠a′o′b′=∠aob．
(2)教师应启发思考作图的实现过程，注意以下几点：
①思路：利用全等三角形的判定方法来实现作图过程，将∠aob放到△cod中(如图2(b))，利用“sas”公理作出与△cod全等的△c′o′d′，从而得
到∠a′o′b′=∠aob(如图2(c))．
②为简化作图过程，便于操作，可取△cod为等腰三角形，即在∠aob的两边上截取oc=od．更进一步地，可改造成尺规作图的语言，引导用简练的作图语句准确描述作图的实施过程．
(3)按照课本作法作图并证明．证明时要注意作图的作法中提供的边的条件．
以下几种基本作图都可仿照此步骤处理．
2．平分已知角．
已知：∠aob(如图3)．
求作：∠aob内部的射线oc，使∠aoc=∠cob．
(1)教师重点分析作法是怎样想出来的．
①借鉴基本作图Ⅰ的思路，画出符合条件的示意图，分析如何构造以∠aoc，
∠cob为元素的两个全等三角形．
答：用“sss”构造△odf与△oef，其中od=oe，f在oc上，df=ef．
②分析如何用作图实现以上过程：
要使od=oe，以o为圆心任意长为半径作弧即可；要确定∠aob上一点f，使df=ef，只要分别以d，e为圆心，特定长a为半径作弧，注意为保证两弧能有
(2)让整理思路，按课本作法作图并证明．
练习1 作平角∠aob的平分线oc，并回答oc与直线ab有何关系？
练习2 如图4，已知：钝角∠mcn．
①求作∠mcn的平分线cf；
②在画出图4的基础上，求证ed⊥cf，cf平分de．
3．经过一点作已知直线的垂线．
已知直线ab和一点c，求作ab的垂线，使它过点c．
注意以下几点：
(1)分析标题时，引导自发讨论已知点c与已知直线ab的位置关系(两种情况)．
(2)对于点c在直线ab上的情况，引导将新问题化归为已知情况——过直线ab上一点c平分平角∠acb．
(3)当点c不在直线ab上时，引导由练习2的作法和证明结论来提炼出本题的作图方法：先确定d，e两点(注意书上选取k点的作用)，再确定f点(找f时所作弧的半径有特定条件)．
4．作线段的垂直平分线．
重点分析基本作图4与练习2的关系．
分析图4中的结论：cf垂直平分de，要作de的垂直平分线cf，只需确
三、四种基本作图的变式和复合练习
例1 用尺规按下列要求作图．(不法只画图)
(1)如图5，在∠aod的内部作射线ob，使∠aob=∠cod．
(2)作一个角的余角．
(3)把线段ab四等分．
(4)如图6，在钝角△abc中，∠abc为钝角．求作：
①△abc中∠acb的平分线cd；
②△abc中bc边上的高ah；
③ac边的中垂线ef；
④ab边上的中线cg．
(5)如图7，已知直线ab和ab外一点c．求作：过c的直线cd∥ab．(提示：过c作直线l交ab于点e，在点c处作∠ceb的同位角(或内错角)，使它等
于∠ceb．)
四、师生共同小结
1．目前已学过的五种基本作图；
2．几种常用的作图语句；
3．尺规作图的基本步骤；
4．以后作图中再遇到五种基本作图时，不必再重复作图的详细过程，只需给出标题，如作线段的垂直平分线”．
五、作业(略)
课堂教学设计说明
本教学设计需2课时完成．
1．为了分散难点，便于学生用语言准确叙述本节课的基本作图，教师设计了预备知识这一部分，目的是让学生熟悉所要用到的常用作图语句，以及让自己分析思考如何用这些语句来解决本节的基本作图．
2．基本作图的分析过程要教给学生分析的方法，逐层实现目的，并要揭示四个基本作图分别“怎样想出来”和“为什么这样想”的思维过程，变“被动接受”为“主动探索发现”，更好解和掌握四种基本作图．
3．教师根据课时情况，可将第三部分的基本作图的部分练习题(如例1(1)，(4)①)插到基本作图1，2后．
4．本课在基本作图2后面设计了两个练习，目的是既巩固基本作图2的各种变式情况下的作图，又为基本作图3，4启发思路．实质上，作角平分线与作垂线和中垂线的方法相类似．