逻辑、推理与证明、复数、框图_高三数学教案
一.课标要求:
1.常用逻辑用语
(1)命题及其关系
① 了解命题的逆命题、否命题与逆否命题;② 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义,会分析四种命题的相互关系;
(2)简单的逻辑联结词
通过实例,了解"或"、"且"、"非"逻辑联结词的含义。
(3)全称量词与存在量词
① 通过生活和中的丰富实例,理解全称量词与存在量词的意义;
② 能正确地对含有一个量词的命题进行否定。
2.推理与证明
(1)合情推理与演绎推理
①结合已学过的数学实例和生活中的实例,了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,体会并认识合情推理在发现中的作用;
②结合已学过的实例和生活中的实例,体会演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理;
③通过具体实例,了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。
(2)直接证明与间接证明
①结合已经学过的实例,了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点;
②结合已经学过的实例,了解间接证明的一种基本方法--反证法;了解反证法的思考过程、特点;
(3)归纳法
了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的命题;
(4)文化
①通过对实例的介绍(如欧几里德《几何原本》、马克思《资本论》、杰弗逊《独立宣言》、牛顿三定律),体会公理化思想;
②介绍计算机在自动推理领域和证明中的作用;
3.数系的扩充与复数的引入
(1)在问题情境中了解数系的扩充过程,体会实际需求与内部的矛盾(数的运算规则、方程理论)在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系;
(2)理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件;
(3)了解复数的代数表示法及其几何意义;
(4)能进行复数代数形式的四则运算,了解复数代数形式的加减运算的几何意义。
4.框图
(1)流程图
①通过具体实例,进一步认识程序框图;
②通过具体实例,了解工序流程图(即统筹图);
③能绘制简单实际问题的流程图,体会流程图在解决实际问题中的作用;
(2)结构图
①通过实例,了解结构图;运用结构图梳理已学过的知识、整理收集到的资料;
②结合作出的结构图与他人进行交流,体会结构图在揭示事物联系中的作用。
二.命题走向
常用逻辑用语
本部分内容主要是常用的逻辑用语,包括命题与量词,基本逻辑联结词以及充分条件、必要条件与命题的四种形式。
预测今年对本部分内容的考查形式如下:考查的形式以选择、填空题为主,考察的重点是条件和复合命题真值的判断。
推理证明
本部分内容主要包括:合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法(理科)等内容,其中推理中的合情推理、演绎推理几乎涉及的方方面面的知识,代表研究性命题的发展趋势,选择题、填空题、解答题都可能涉及到,该部分命题的方向主要会在函数、三角、数列、立体几何、解析几何等方面,在新的中都会涉及和渗透,但单独出题的可能性较小;
预计今年将会有较多题目用到推理证明的方法。
复数
复数部分考查的重点是复数的有关概念、复数的代数形式、运算及运算的几何意义,一般是选择题、填空题,难度不大,预计今后的还会保持这个趋势。
预测今年对本讲的难度不会太大,重视对基本问题诸如:复数的四则运算的考查,题目多以选择、填空为主。
框图
本部分是新课标新增内容,历年高考中涉及内容很少,估计今年中可能在选择题、填空题中以考察流程图和结构图的定义和特征的形式出现;也可能以画某种知识的结构图或解决某类问题的流程图为形式的解答题出现,但不论哪种形式,所占份量都不会很大。
三.要点精讲
1.常用逻辑用语
(1)命题
命题:可以判断真假的语句叫命题;
逻辑联结词:"或""且""非"这些词就叫做逻辑联结词;简单命题:不含逻辑联结词的命题。复合命题:由简单命题与逻辑联结词构成的命题。
常用小写的拉丁字母p,q,r,s,……表示命题,故复合命题有三种形式:p或q;p且q;非p。
(2)复合命题的真值
"非p"形式复合命题的真假可以用下表表示:
p 非p
真 假
假 真
"p且q"形式复合命题的真假可以用下表表示:
p q p且q
真 真 真
真 假 假
假 真 假
假 假 假
"p且q"形式复合命题的真假可以用下表表示:
p q p或q
真 真 真
真 假 真
假 真 真
假 假 假
注:1°像上面表示命题真假的表叫真值表;2°由真值表得:"非p"形式复合命题的真假与p的真假相反;"p且q"形式复合命题当p与q同为真时为真,其他情况为假;"p或q"形式复合命题当p与q同为假时为假,其他情况为真;3°真值表是根据简单命题的真假,判断由这些简单命题构成的复合命题的真假,而不涉及简单命题的具体内容。
(3)四种命题
如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,且第一个命题的结论是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互为逆命题;
如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定,那么这两个命题叫做互否命题,这个命题叫做原命题的否命题;
如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定,那么这两个命题叫做互为逆否命题,这个命题叫做原命题的逆否命题。
两个互为逆否命题的真假是相同的,即两个互为逆否命题是等价命题.若判断一个命题的真假较困难时,可转化为判断其逆否命题的真假。
(4)条件
一般地,如果已知p==>q,那么就说:p是q的充分条件;q是p的必要条件。
可分为四类:(1)充分不必要条件,即p==>q,而q p;(2)必要不充分条件,即p q,而q==>p;(3)既充分又必要条件,即p==>q,又有q==>p;(4)既不充分也不必要条件,即p q,又有q p。
一般地,如果既有p==>q,又有q==>p,就记作:p q." "叫做等价符号。p q表示p==>q且q==>p。
这时p既是q的充分条件,又是q的必要条件,则p是q的充分必要条件,简称充要条件。
(5)全称命题与特称命题
这里,短语"所有"在陈述中表示所述事物的全体,逻辑中通常叫做全称量词,并用符号 表示。含有全体量词的命题,叫做全称命题。
短语"有一个"或"有些"或"至少有一个"在陈述中表示所述事物的个体或部分,逻辑中通常叫做存在量词,并用符号 表示,含有存在量词的命题,叫做存在性命题。
2.推理与证明
(1)合情推理
根据一类事物的部分对象具有某种性质,推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理(简称归纳)。归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理;
根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理,叫做类比推理(简称类比)。
类比推理的一般步骤:
(1)找出两类事物之间的相似性或一致性;(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);(3)一般地,事物之间的各个性质之间并不是孤立存在的,而是相互制约的。如果两个事物在某些性质上相同或类似,那么它们在另一些性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的;(4)在一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题就越可靠。
(2)演绎推理
分析上述推理过程,可以看出,推理的灭每一个步骤都是根据一般性命题(如"全等三角形")推出特殊性命题的过程,这类根据一般性的真命题(或逻辑规则)导出特殊性命题为真的推理,叫做演绎推理。演绎推理的特征是:当前提为真时,结论必然为真。
(3)证明
反证法:要证明某一结论a是正确的,但不直接证明,而是先去证明a的反面(非a)是错误的,从而断定a是正确的即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论,完成命题的论证的一种证明方法。
反证法的步骤:1)假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立;2)从这个假设出发,通过推理论证,得出矛盾;3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确。
注意:可能出现矛盾四种情况:①与题设矛盾;②与反设矛盾;③与公理、定理矛盾④在证明过程中,推出自相矛盾的结论。
分析法:证明不等式时,有时可以从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的条件,把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题,如果能够肯定这些条件都已具备,那么就可以断定原不等式成立,这种方法通常叫做分析法。
用分析法证明不等式的逻辑关系是:
分析法的思维特点是:执果索因;
分析法的书写格式: 要证明命题b为真,只需要证明命题为真,
从而有……,这只需要证明命题为真,从而又有……
这只需要证明命题a为真,而已知a为真,故命题b必为真。
综合法:利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数定理)和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立,这种证明方法通常叫做综合法,
用综合法证明不等式的逻辑关系是:
综合法的思维特点是:由因导果,即由已知条件出发,利用已知的定理、性质和公式,推出结论的一种证明方法。
3.数系的扩充与复数的引入
形如a+bi(a,b 的数,我们把它们叫做复数,全体复数所形成的集合叫做复数集,一般用字母c表示,其中a叫做复数的实部,b叫做复数的虚部。
复数的加法法则:(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;复数的加法法则:(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;复数的乘法法则:(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;复数的除法法则:(a+bi) (c+di)= = = = + ;
4.框图
(1)结构图
首先,你要对所画结构图的每一部分有一个深刻的理解和透彻的掌握,从头止尾抓住主要脉络进行分解,然后将每一步分解进行归纳与提炼,形成一个个知识点并将其逐一地写在矩形框内。最后,按其内在的逻辑顺序将它们排列起来并用线段相连,这样就画成了知识结构图。
认识结构图:由构成系统的若干要素和表达各要素之间关系的连线构成。
绘制结构图的步骤:1)先确定组成系统的基本要素,以及这些要素之间的关系;2)处理好"上位"与"下位"的关系;"下位"要素比"上位"要素更为具体, "上位"要素比"下位"要素更为抽象。3)再逐步细化各层要素;4)画出结构图,表示整个系统。
(2)流程图
绘制流程图的一般过程:首先,用自然语言描述流程步骤;其次,分析每一步骤是否可以直接表达,或需要借助于逻辑结构来表达;再次,分析各步骤之间的关系;最后,画出流程图表示整个流程。
鉴于用自然语言描述算法所出现的种种弊端,人们开始用流程图来表示算法,这种描述方法既避免了自然语言描述算法的拖沓冗长,又消除了起义性,且能清晰准确地表述该算法的每一步骤,因而深受欢迎。
设计算法解决问题的主要步骤:
第一步、用自然语言描述算法;
算法可以用自然语言来描述,但为了使算法的程序或步骤表达得更为直观,我们更经常地用图形方式来表示它。
第二步、画出程序框图表达算法;
第三步、写出计算机相应的程序并上机实现。
四.典例解析
题型1:判断命题的真值
例1.写出由下述各命题构成的"p或q","p且q","非p"形式的复合命题,并指出所构成的这些复合命题的真假。
(1)p:9是144的约数,q:9是225的约数。
(2)p:方程x2-1=0的解是x=1,q:方程x2-1=0的解是x=-1;
(3)p:实数的平方是正数,q:实数的平方是0.
解析:由简单命题构成复合命题,一定要检验是否符合"真值表"如果不符要作语言上的调整。
(1)p或q:9是144或225的约数;
p且q:9是144与225的公约数,(或写成:9是144的约数,且9是225的约数);
非p:9不是144的约数.
∵p真,q真,∴"p或q"为真,"p且q" 为真,而"非p"为假.
(2)p或q:方程x2-1=0的解是x=1,或方程x2-1=0的解是x=-1(注意,不能写成"方程x2-1=0的解是x=±1",这与真值表不符);
p且q:方程x2-1=0的解是x=1,且方程x2-1=0的解是x=-1;
非p:方程x2-1=0的解不都是x=1(注意,在命题p中的"是"应理解为"都是"的意思);
∵p假,q假,∴"p或q"与,"p且q" 均为假,而"非p"为真.
(3)p或q:实数的平方都是正数或实数的平方都是0;
p且q:实数的平方都是正数且实数的平方都是0;
非p:实数的平方不都是正数,(或:存在实数,其平方不是正数);
∵p假,q假,∴"p或q"与"p且q" 均为假,而"非p"为真.
点评:在命题p或命题q的语句中,由于中文表达的习惯常常会有些省略,这种情况下应作词语上的调整。
题型2:条件
例2.(1)(2005北京2)" "是"直线 相互垂直"的( )
a.充分必要条件 b.充分而不必要条件
c.必要而不充分条件 d.既不充分也不必要条件
答案:b;
解析:当 时两直线斜率乘积为 从而可得两直线垂直,当 时两直线一条斜率为0一条斜率不存在,但两直线仍然垂直.因此 是题目中给出的两条直线垂直的充分但不必要条件。
点评:对于两条直线垂直的充要条件① 都存在时 ② 中有一个不存在另一个为零对于②这种情况多数考生容易忽略。
(2)(2005湖南6)设集合a={x| <0 ,b={x || x -1|<a ,若"a=1"是"a∩b≠ "的( )
a.充分不必要条件 b.必要不充分条件
c.充要条件 d.既不充分又不必要条件
答案:a;
解析:由题意得a:-1<x<1,b:1-a<x<a+1,
1)由a=1。a:-1<x<1.b:0<x<2。
则a 成立,即充分性成立。
2)反之:a ,不一定推得a=1,如a可能为 。
综合得"a=1"是: a "的充分非必要条件,故选a。
点评:本题考查分式不等式,绝对值不等式的解法,充分必要条件等知识。
题型3:四种命题
例3.(1)(2005江苏13)命题"若a>b,则2a>2b-1"的否命题为 ;
(2)判断命题:"若 没有实根,则 "的真假性。
解析:(1)答案:若 ;
由题意原命题的否命题为"若 "。
(2)很可能许多同学会认为它是假命题(原因m=0时显然方程有根),而它的逆否命题:"若 有实根",显然为真,其实不然,由 没实根可推得 ,而 的真子集,由 ,故原命题为真,其实,用逆否命题很容易判断它是真命题;
点评:本题考查了命题间的关系,由原命题写出其否命题。
题型4:全称命题与特称命题
例4.命题p:"有些三角形是等腰三角形",则┐p是( )
a.有些三角形不是等腰三角形
b.所有三角形是等腰三角形
c.所有三角形不是等腰三角形
d.所有三角形是等腰三角形
解析:像这种存在性命题的否定命题也有其规律:命题p:"存在 使p(x)成立",┐p为:"对任意 ",它恰与全称性命题的否定命题相反,故的答案为c。
点评:简易逻辑题,比较抽象,不少在有些问题的看法上常出现一些自己也说不清道不明的疑惑,但要依据具体的规则进行详细的处理。
题型5:合情推理
例5.(1)观察圆周上n个点之间所连的弦,发现两个点可以连一条弦,3个点可以连3条弦,4个点可以连6条弦,5个点可以连10条弦,你由此可以归纳出什么规律?
(2)把下面在平面内成立的结论类比推广到空间,并判断类比的结论是否成立:
1)如果一条直线与两条平行直线中的一条相交,则必于另一条相交。
2)如果两条直线同时垂直与第三条直线,则这两条直线平行。
解析:(1)设 为 个点可连的弦的条数,则
(2)
1)一个平面如和两个平行平面中的一个相交,则必然和另一个也相交,次结论成立;
2)若两个平面同时垂直第三个骗马,则这两个平面也相互平行,此结论不成立。
点评:当前提为真,结论可能为真的推理。一定要理解合情推理的必要性。
题型6:演绎推理
例6.(今年天津)如图,在五面体 中,点 是矩形 的对角线的交点,面 是等边三角形,棱 。
(1)证明 //平面 ;
(2)设 ,证明 平面 。
解析:(Ⅰ)证明:取cd中点m,连结om.
在矩形abcd中, ,又 ,
则 ,连结em,于是四边形efom为平行四边形.
又 平面cde,切em 平面cde,∵fo∥平面cde
(Ⅱ)证明:连结fm,由(Ⅰ)和已知条件,在等边△cde中,
且 。
因此平行四边形efom为菱形,从而eo⊥fm而fm∩cd=m,∴cd⊥平面eom,从而cd⊥eo.而 ,所以eo⊥平面cdf。
点评:本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力。
题型7:特殊证法
例7.(1)用反证法证明:如果a>b>0,那么 ;
(2)(06全国ii)设数列{an}的前n项和为sn,且方程x2-anx-an=0有一根为sn-1,n=1,2,3,…。
(Ⅰ)求a1,a2;(Ⅱ){an}的通项公式。
解析:(1)假设 不大于 ,则或者 < ,或者 = 。
∵a>0,b>0,∴ < < , <
, a<b;
= a=b.这些都同已知条件a>b>0矛盾,∴ .
证法二(直接证法) ,
∵a>b>0,∴a - b>0即 ,
∴ ,∴ 。
(2)(Ⅰ)当n=1时,x2-a1x-a1=0有一根为s1-1=a1-1,
于是(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得a1=12。
当n=2时,x2-a2x-a2=0有一根为s2-1=a2-12,
于是(a2-12)2-a2(a2-12)-a2=0,解得a1=16。
(Ⅱ)由题设(sn-1)2-an(sn-1)-an=0,sn2-2sn+1-ansn=0。
当n≥2时,an=sn-sn-1,代入上式得sn-1sn-2sn+1=0 ①
由(Ⅰ)知s1=a1=12,s2=a1+a2=12+16=23。
由①可得s3=34,由此猜想sn=nn+1,n=1,2,3,…
下面用归纳法证明这个结论
(i)n=1时已知结论成立;
(ii)假设n=k时结论成立,即sk=kk+1,
当n=k+1时,由①得sk+1=12-sk,即sk+1=k+1k+2,
故n=k+1时结论也成立.
综上,由(i)、(ii)可知sn=nn+1对所有正整数n都成立,
于是当n≥2时,an=sn-sn-1=nn+1-n-1n=1n(n+1),
又n=1时,a1=12=11×2,所以{an}的通项公式an=nn+1,n=1,2,3,…
点评:要应用好反证法、归纳法证明一些涉及代数、不等式、几何的结论。
题型8:复数的概念及性质
例8.(1)(福建卷)设a、b、c、d∈r,则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是
a.ad-bc=0 b.ac-bd=0 c. ac+bd=0 d.ad+bc=0
(2)(北京卷)在复平面内,复数 对应的点位于
(a)第一象限 (b)第二象限 (c)第三象限 (d)第四象限
解析:(1) 复数 = 为实数,∴ ,选d;
(2)解: 故选d;
点评:复数的概念和性质是对复数部分的一个考点,属于比较基本的题目,主要考察复数的的分类和几何性质。
题型9:复数的运算
例9.(1)(06浙江卷)已知 ( )
(a)1+2i (b) 1-2i (c)2+i (d)2-i
(2)(湖北卷)设 为实数,且 ,则 。
解析:(1) ,由 、 是实数,得 ,
∴ ,故选择c。
(2) ,
而 所以 ,解得x=-1,y=5,
所以x+y=4。
点评:本题考查复数的运算及性质,基础题。
题型10:框图
例10.(1)方案1:派出调研人员赴北京、上海、广州调研,待调研人员回来后决定生产数量;
方案2:商家如战场!抓紧时间搞好调研,然后进行生产,调研为此项目的的瓶颈,因此需要添加力量,齐头并进搞调研,以便提前结束调研,尽早投产使产品占领市场。
(2)公司人事结构图
解析:(1)方案1:派出调研人员赴北京、上海、广州调研,待调研人员回来后决定生产数量。
方案2: 商家如战场!抓紧时间搞好调研,然后进行生产,调研为此项目的的瓶颈,因此需要添加力量,齐头并进搞调研,以便提前结束调研,尽早投产使产品占领市场。
于是:
(2)
点评:建立合理的结构图和流程图解决实际问题,要形成良好的书写习惯遵循从上到下、从左到右的规则。
五.思维
1.简易逻辑的重点内容是有关"充要条件"、命题真伪的。主要是对概念有准确的记忆和深层次的理解,以选择题、填空题为主,难度不大,要求对基本知识、基本题型,求解准确熟练;
2.推理证明题主要和其它知识结合到一块,属于知识综合题,解决此类题目时要建立合理的解题思路;
3.高考对于复数的考察主要以复数的四则运算为主,按新课标的要求将不再考察共轭复数、复数的模等知识点;
4.框图属于新增内容,将以考察考生的实际应用能力为主,考查考生的知识迁移能力。
1.常用逻辑用语
(1)命题及其关系
① 了解命题的逆命题、否命题与逆否命题;② 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义,会分析四种命题的相互关系;
(2)简单的逻辑联结词
通过实例,了解"或"、"且"、"非"逻辑联结词的含义。
(3)全称量词与存在量词
① 通过生活和中的丰富实例,理解全称量词与存在量词的意义;
② 能正确地对含有一个量词的命题进行否定。
2.推理与证明
(1)合情推理与演绎推理
①结合已学过的数学实例和生活中的实例,了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,体会并认识合情推理在发现中的作用;
②结合已学过的实例和生活中的实例,体会演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理;
③通过具体实例,了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。
(2)直接证明与间接证明
①结合已经学过的实例,了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点;
②结合已经学过的实例,了解间接证明的一种基本方法--反证法;了解反证法的思考过程、特点;
(3)归纳法
了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的命题;
(4)文化
①通过对实例的介绍(如欧几里德《几何原本》、马克思《资本论》、杰弗逊《独立宣言》、牛顿三定律),体会公理化思想;
②介绍计算机在自动推理领域和证明中的作用;
3.数系的扩充与复数的引入
(1)在问题情境中了解数系的扩充过程,体会实际需求与内部的矛盾(数的运算规则、方程理论)在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系;
(2)理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件;
(3)了解复数的代数表示法及其几何意义;
(4)能进行复数代数形式的四则运算,了解复数代数形式的加减运算的几何意义。
4.框图
(1)流程图
①通过具体实例,进一步认识程序框图;
②通过具体实例,了解工序流程图(即统筹图);
③能绘制简单实际问题的流程图,体会流程图在解决实际问题中的作用;
(2)结构图
①通过实例,了解结构图;运用结构图梳理已学过的知识、整理收集到的资料;
②结合作出的结构图与他人进行交流,体会结构图在揭示事物联系中的作用。
二.命题走向
常用逻辑用语
本部分内容主要是常用的逻辑用语,包括命题与量词,基本逻辑联结词以及充分条件、必要条件与命题的四种形式。
预测今年对本部分内容的考查形式如下:考查的形式以选择、填空题为主,考察的重点是条件和复合命题真值的判断。
推理证明
本部分内容主要包括:合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法(理科)等内容,其中推理中的合情推理、演绎推理几乎涉及的方方面面的知识,代表研究性命题的发展趋势,选择题、填空题、解答题都可能涉及到,该部分命题的方向主要会在函数、三角、数列、立体几何、解析几何等方面,在新的中都会涉及和渗透,但单独出题的可能性较小;
预计今年将会有较多题目用到推理证明的方法。
复数
复数部分考查的重点是复数的有关概念、复数的代数形式、运算及运算的几何意义,一般是选择题、填空题,难度不大,预计今后的还会保持这个趋势。
预测今年对本讲的难度不会太大,重视对基本问题诸如:复数的四则运算的考查,题目多以选择、填空为主。
框图
本部分是新课标新增内容,历年高考中涉及内容很少,估计今年中可能在选择题、填空题中以考察流程图和结构图的定义和特征的形式出现;也可能以画某种知识的结构图或解决某类问题的流程图为形式的解答题出现,但不论哪种形式,所占份量都不会很大。
三.要点精讲
1.常用逻辑用语
(1)命题
命题:可以判断真假的语句叫命题;
逻辑联结词:"或""且""非"这些词就叫做逻辑联结词;简单命题:不含逻辑联结词的命题。复合命题:由简单命题与逻辑联结词构成的命题。
常用小写的拉丁字母p,q,r,s,……表示命题,故复合命题有三种形式:p或q;p且q;非p。
(2)复合命题的真值
"非p"形式复合命题的真假可以用下表表示:
p 非p
真 假
假 真
"p且q"形式复合命题的真假可以用下表表示:
p q p且q
真 真 真
真 假 假
假 真 假
假 假 假
"p且q"形式复合命题的真假可以用下表表示:
p q p或q
真 真 真
真 假 真
假 真 真
假 假 假
注:1°像上面表示命题真假的表叫真值表;2°由真值表得:"非p"形式复合命题的真假与p的真假相反;"p且q"形式复合命题当p与q同为真时为真,其他情况为假;"p或q"形式复合命题当p与q同为假时为假,其他情况为真;3°真值表是根据简单命题的真假,判断由这些简单命题构成的复合命题的真假,而不涉及简单命题的具体内容。
(3)四种命题
如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,且第一个命题的结论是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互为逆命题;
如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定,那么这两个命题叫做互否命题,这个命题叫做原命题的否命题;
如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定,那么这两个命题叫做互为逆否命题,这个命题叫做原命题的逆否命题。
两个互为逆否命题的真假是相同的,即两个互为逆否命题是等价命题.若判断一个命题的真假较困难时,可转化为判断其逆否命题的真假。
(4)条件
一般地,如果已知p==>q,那么就说:p是q的充分条件;q是p的必要条件。
可分为四类:(1)充分不必要条件,即p==>q,而q p;(2)必要不充分条件,即p q,而q==>p;(3)既充分又必要条件,即p==>q,又有q==>p;(4)既不充分也不必要条件,即p q,又有q p。
一般地,如果既有p==>q,又有q==>p,就记作:p q." "叫做等价符号。p q表示p==>q且q==>p。
这时p既是q的充分条件,又是q的必要条件,则p是q的充分必要条件,简称充要条件。
(5)全称命题与特称命题
这里,短语"所有"在陈述中表示所述事物的全体,逻辑中通常叫做全称量词,并用符号 表示。含有全体量词的命题,叫做全称命题。
短语"有一个"或"有些"或"至少有一个"在陈述中表示所述事物的个体或部分,逻辑中通常叫做存在量词,并用符号 表示,含有存在量词的命题,叫做存在性命题。
2.推理与证明
(1)合情推理
根据一类事物的部分对象具有某种性质,推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理(简称归纳)。归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理;
根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理,叫做类比推理(简称类比)。
类比推理的一般步骤:
(1)找出两类事物之间的相似性或一致性;(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);(3)一般地,事物之间的各个性质之间并不是孤立存在的,而是相互制约的。如果两个事物在某些性质上相同或类似,那么它们在另一些性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的;(4)在一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题就越可靠。
(2)演绎推理
分析上述推理过程,可以看出,推理的灭每一个步骤都是根据一般性命题(如"全等三角形")推出特殊性命题的过程,这类根据一般性的真命题(或逻辑规则)导出特殊性命题为真的推理,叫做演绎推理。演绎推理的特征是:当前提为真时,结论必然为真。
(3)证明
反证法:要证明某一结论a是正确的,但不直接证明,而是先去证明a的反面(非a)是错误的,从而断定a是正确的即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论,完成命题的论证的一种证明方法。
反证法的步骤:1)假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立;2)从这个假设出发,通过推理论证,得出矛盾;3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确。
注意:可能出现矛盾四种情况:①与题设矛盾;②与反设矛盾;③与公理、定理矛盾④在证明过程中,推出自相矛盾的结论。
分析法:证明不等式时,有时可以从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的条件,把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题,如果能够肯定这些条件都已具备,那么就可以断定原不等式成立,这种方法通常叫做分析法。
用分析法证明不等式的逻辑关系是:
分析法的思维特点是:执果索因;
分析法的书写格式: 要证明命题b为真,只需要证明命题为真,
从而有……,这只需要证明命题为真,从而又有……
这只需要证明命题a为真,而已知a为真,故命题b必为真。
综合法:利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数定理)和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立,这种证明方法通常叫做综合法,
用综合法证明不等式的逻辑关系是:
综合法的思维特点是:由因导果,即由已知条件出发,利用已知的定理、性质和公式,推出结论的一种证明方法。
3.数系的扩充与复数的引入
形如a+bi(a,b 的数,我们把它们叫做复数,全体复数所形成的集合叫做复数集,一般用字母c表示,其中a叫做复数的实部,b叫做复数的虚部。
复数的加法法则:(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;复数的加法法则:(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;复数的乘法法则:(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;复数的除法法则:(a+bi) (c+di)= = = = + ;
4.框图
(1)结构图
首先,你要对所画结构图的每一部分有一个深刻的理解和透彻的掌握,从头止尾抓住主要脉络进行分解,然后将每一步分解进行归纳与提炼,形成一个个知识点并将其逐一地写在矩形框内。最后,按其内在的逻辑顺序将它们排列起来并用线段相连,这样就画成了知识结构图。
认识结构图:由构成系统的若干要素和表达各要素之间关系的连线构成。
绘制结构图的步骤:1)先确定组成系统的基本要素,以及这些要素之间的关系;2)处理好"上位"与"下位"的关系;"下位"要素比"上位"要素更为具体, "上位"要素比"下位"要素更为抽象。3)再逐步细化各层要素;4)画出结构图,表示整个系统。
(2)流程图
绘制流程图的一般过程:首先,用自然语言描述流程步骤;其次,分析每一步骤是否可以直接表达,或需要借助于逻辑结构来表达;再次,分析各步骤之间的关系;最后,画出流程图表示整个流程。
鉴于用自然语言描述算法所出现的种种弊端,人们开始用流程图来表示算法,这种描述方法既避免了自然语言描述算法的拖沓冗长,又消除了起义性,且能清晰准确地表述该算法的每一步骤,因而深受欢迎。
设计算法解决问题的主要步骤:
第一步、用自然语言描述算法;
算法可以用自然语言来描述,但为了使算法的程序或步骤表达得更为直观,我们更经常地用图形方式来表示它。
第二步、画出程序框图表达算法;
第三步、写出计算机相应的程序并上机实现。
四.典例解析
题型1:判断命题的真值
例1.写出由下述各命题构成的"p或q","p且q","非p"形式的复合命题,并指出所构成的这些复合命题的真假。
(1)p:9是144的约数,q:9是225的约数。
(2)p:方程x2-1=0的解是x=1,q:方程x2-1=0的解是x=-1;
(3)p:实数的平方是正数,q:实数的平方是0.
解析:由简单命题构成复合命题,一定要检验是否符合"真值表"如果不符要作语言上的调整。
(1)p或q:9是144或225的约数;
p且q:9是144与225的公约数,(或写成:9是144的约数,且9是225的约数);
非p:9不是144的约数.
∵p真,q真,∴"p或q"为真,"p且q" 为真,而"非p"为假.
(2)p或q:方程x2-1=0的解是x=1,或方程x2-1=0的解是x=-1(注意,不能写成"方程x2-1=0的解是x=±1",这与真值表不符);
p且q:方程x2-1=0的解是x=1,且方程x2-1=0的解是x=-1;
非p:方程x2-1=0的解不都是x=1(注意,在命题p中的"是"应理解为"都是"的意思);
∵p假,q假,∴"p或q"与,"p且q" 均为假,而"非p"为真.
(3)p或q:实数的平方都是正数或实数的平方都是0;
p且q:实数的平方都是正数且实数的平方都是0;
非p:实数的平方不都是正数,(或:存在实数,其平方不是正数);
∵p假,q假,∴"p或q"与"p且q" 均为假,而"非p"为真.
点评:在命题p或命题q的语句中,由于中文表达的习惯常常会有些省略,这种情况下应作词语上的调整。
题型2:条件
例2.(1)(2005北京2)" "是"直线 相互垂直"的( )
a.充分必要条件 b.充分而不必要条件
c.必要而不充分条件 d.既不充分也不必要条件
答案:b;
解析:当 时两直线斜率乘积为 从而可得两直线垂直,当 时两直线一条斜率为0一条斜率不存在,但两直线仍然垂直.因此 是题目中给出的两条直线垂直的充分但不必要条件。
点评:对于两条直线垂直的充要条件① 都存在时 ② 中有一个不存在另一个为零对于②这种情况多数考生容易忽略。
(2)(2005湖南6)设集合a={x| <0 ,b={x || x -1|<a ,若"a=1"是"a∩b≠ "的( )
a.充分不必要条件 b.必要不充分条件
c.充要条件 d.既不充分又不必要条件
答案:a;
解析:由题意得a:-1<x<1,b:1-a<x<a+1,
1)由a=1。a:-1<x<1.b:0<x<2。
则a 成立,即充分性成立。
2)反之:a ,不一定推得a=1,如a可能为 。
综合得"a=1"是: a "的充分非必要条件,故选a。
点评:本题考查分式不等式,绝对值不等式的解法,充分必要条件等知识。
题型3:四种命题
例3.(1)(2005江苏13)命题"若a>b,则2a>2b-1"的否命题为 ;
(2)判断命题:"若 没有实根,则 "的真假性。
解析:(1)答案:若 ;
由题意原命题的否命题为"若 "。
(2)很可能许多同学会认为它是假命题(原因m=0时显然方程有根),而它的逆否命题:"若 有实根",显然为真,其实不然,由 没实根可推得 ,而 的真子集,由 ,故原命题为真,其实,用逆否命题很容易判断它是真命题;
点评:本题考查了命题间的关系,由原命题写出其否命题。
题型4:全称命题与特称命题
例4.命题p:"有些三角形是等腰三角形",则┐p是( )
a.有些三角形不是等腰三角形
b.所有三角形是等腰三角形
c.所有三角形不是等腰三角形
d.所有三角形是等腰三角形
解析:像这种存在性命题的否定命题也有其规律:命题p:"存在 使p(x)成立",┐p为:"对任意 ",它恰与全称性命题的否定命题相反,故的答案为c。
点评:简易逻辑题,比较抽象,不少在有些问题的看法上常出现一些自己也说不清道不明的疑惑,但要依据具体的规则进行详细的处理。
题型5:合情推理
例5.(1)观察圆周上n个点之间所连的弦,发现两个点可以连一条弦,3个点可以连3条弦,4个点可以连6条弦,5个点可以连10条弦,你由此可以归纳出什么规律?
(2)把下面在平面内成立的结论类比推广到空间,并判断类比的结论是否成立:
1)如果一条直线与两条平行直线中的一条相交,则必于另一条相交。
2)如果两条直线同时垂直与第三条直线,则这两条直线平行。
解析:(1)设 为 个点可连的弦的条数,则
(2)
1)一个平面如和两个平行平面中的一个相交,则必然和另一个也相交,次结论成立;
2)若两个平面同时垂直第三个骗马,则这两个平面也相互平行,此结论不成立。
点评:当前提为真,结论可能为真的推理。一定要理解合情推理的必要性。
题型6:演绎推理
例6.(今年天津)如图,在五面体 中,点 是矩形 的对角线的交点,面 是等边三角形,棱 。
(1)证明 //平面 ;
(2)设 ,证明 平面 。
解析:(Ⅰ)证明:取cd中点m,连结om.
在矩形abcd中, ,又 ,
则 ,连结em,于是四边形efom为平行四边形.
又 平面cde,切em 平面cde,∵fo∥平面cde
(Ⅱ)证明:连结fm,由(Ⅰ)和已知条件,在等边△cde中,
且 。
因此平行四边形efom为菱形,从而eo⊥fm而fm∩cd=m,∴cd⊥平面eom,从而cd⊥eo.而 ,所以eo⊥平面cdf。
点评:本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力。
题型7:特殊证法
例7.(1)用反证法证明:如果a>b>0,那么 ;
(2)(06全国ii)设数列{an}的前n项和为sn,且方程x2-anx-an=0有一根为sn-1,n=1,2,3,…。
(Ⅰ)求a1,a2;(Ⅱ){an}的通项公式。
解析:(1)假设 不大于 ,则或者 < ,或者 = 。
∵a>0,b>0,∴ < < , <
, a<b;
= a=b.这些都同已知条件a>b>0矛盾,∴ .
证法二(直接证法) ,
∵a>b>0,∴a - b>0即 ,
∴ ,∴ 。
(2)(Ⅰ)当n=1时,x2-a1x-a1=0有一根为s1-1=a1-1,
于是(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得a1=12。
当n=2时,x2-a2x-a2=0有一根为s2-1=a2-12,
于是(a2-12)2-a2(a2-12)-a2=0,解得a1=16。
(Ⅱ)由题设(sn-1)2-an(sn-1)-an=0,sn2-2sn+1-ansn=0。
当n≥2时,an=sn-sn-1,代入上式得sn-1sn-2sn+1=0 ①
由(Ⅰ)知s1=a1=12,s2=a1+a2=12+16=23。
由①可得s3=34,由此猜想sn=nn+1,n=1,2,3,…
下面用归纳法证明这个结论
(i)n=1时已知结论成立;
(ii)假设n=k时结论成立,即sk=kk+1,
当n=k+1时,由①得sk+1=12-sk,即sk+1=k+1k+2,
故n=k+1时结论也成立.
综上,由(i)、(ii)可知sn=nn+1对所有正整数n都成立,
于是当n≥2时,an=sn-sn-1=nn+1-n-1n=1n(n+1),
又n=1时,a1=12=11×2,所以{an}的通项公式an=nn+1,n=1,2,3,…
点评:要应用好反证法、归纳法证明一些涉及代数、不等式、几何的结论。
题型8:复数的概念及性质
例8.(1)(福建卷)设a、b、c、d∈r,则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是
a.ad-bc=0 b.ac-bd=0 c. ac+bd=0 d.ad+bc=0
(2)(北京卷)在复平面内,复数 对应的点位于
(a)第一象限 (b)第二象限 (c)第三象限 (d)第四象限
解析:(1) 复数 = 为实数,∴ ,选d;
(2)解: 故选d;
点评:复数的概念和性质是对复数部分的一个考点,属于比较基本的题目,主要考察复数的的分类和几何性质。
题型9:复数的运算
例9.(1)(06浙江卷)已知 ( )
(a)1+2i (b) 1-2i (c)2+i (d)2-i
(2)(湖北卷)设 为实数,且 ,则 。
解析:(1) ,由 、 是实数,得 ,
∴ ,故选择c。
(2) ,
而 所以 ,解得x=-1,y=5,
所以x+y=4。
点评:本题考查复数的运算及性质,基础题。
题型10:框图
例10.(1)方案1:派出调研人员赴北京、上海、广州调研,待调研人员回来后决定生产数量;
方案2:商家如战场!抓紧时间搞好调研,然后进行生产,调研为此项目的的瓶颈,因此需要添加力量,齐头并进搞调研,以便提前结束调研,尽早投产使产品占领市场。
(2)公司人事结构图
解析:(1)方案1:派出调研人员赴北京、上海、广州调研,待调研人员回来后决定生产数量。
方案2: 商家如战场!抓紧时间搞好调研,然后进行生产,调研为此项目的的瓶颈,因此需要添加力量,齐头并进搞调研,以便提前结束调研,尽早投产使产品占领市场。
于是:
(2)
点评:建立合理的结构图和流程图解决实际问题,要形成良好的书写习惯遵循从上到下、从左到右的规则。
五.思维
1.简易逻辑的重点内容是有关"充要条件"、命题真伪的。主要是对概念有准确的记忆和深层次的理解,以选择题、填空题为主,难度不大,要求对基本知识、基本题型,求解准确熟练;
2.推理证明题主要和其它知识结合到一块,属于知识综合题,解决此类题目时要建立合理的解题思路;
3.高考对于复数的考察主要以复数的四则运算为主,按新课标的要求将不再考察共轭复数、复数的模等知识点;
4.框图属于新增内容,将以考察考生的实际应用能力为主,考查考生的知识迁移能力。