导数题的解题技巧_高三数学教案
【命题趋向】
导数命题趋势:
综观历届全国各套,我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与特点:
(1)多项式求导(结合不等式求参数取值范围),和求斜率(切线方程结合函数求最值)问题.
(2)求极值, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合.
分值在12---17分之间,一般为1个选择题或1个填空题,1个解答题.
【考点透视】
1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等);掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念.
2.熟记基本导数公式;掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数.
3.理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值.
【例题解析】
考点1 导数的概念
对概念的要求:了解导数概念的实际背景,掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念.
例1.(今年北京卷) 是 的导函数,则 的值是 .
[考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力.
[解答过程]
故填3.
例2. ( 今年湖南卷)设函数 ,集合m= ,p= ,若m p,则实数a的取值范围是 ( )
a.(-∞,1) b.(0,1) c.(1,+∞) d. [1,+∞)
[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.
[解答过程]由
综上可得m p时,
考点2 曲线的切线
(1)关于曲线在某一点的切线
求曲线y=f(x)在某一点p(x,y)的切线,即求出函数y=f(x)在p点的导数就是曲线在该点的切线的斜率.
(2)关于两曲线的公切线
若一直线同时与两曲线相切,则称该直线为两曲线的公切线.
典型例题
例3.(今年湖南文)已知函数 在区间 , 内各有一个极值点.
(i)求 的最大值;
(ii)当 时,设函数 在点 处的切线为 ,若 在点 处穿过函数 的图象(即动点在点 附近沿曲线 运动,经过点 时,从 的一侧进入另一侧),求函数 的表达式.
思路启迪:用求导来求得切线斜率.
解答过程:(i)因为函数 在区间 , 内分别有一个极值点,所以 在 , 内分别有一个实根,
设两实根为 ( ),则 ,且 .于是
, ,且当 ,即 , 时等号成立.故 的最大值是16.
(ii)解法一:由 知 在点 处的切线 的方程是
,即 ,
因为切线 在点 处空过 的图象,
所以 在 两边附近的函数值异号,则
不是 的极值点.
而 ,且
.
若 ,则 和 都是 的极值点.
所以 ,即 ,又由 ,得 ,故 .
解法二:同解法一得
.
因为切线 在点 处穿过 的图象,所以 在 两边附近的函数值异号,于是存在 ( ).
当 时, ,当 时, ;
或当 时, ,当 时, .
设 ,则
当 时, ,当 时, ;
或当 时, ,当 时, .
由 知 是 的一个极值点,则 ,
所以 ,又由 ,得 ,故 .
例4.(今年安徽卷)若曲线 的一条切线 与直线 垂直,则 的方程为( )
a. b.
c. d.
[考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.
[解答过程]与直线 垂直的直线 为 ,即 在某一点的导数为4,而 ,所以 在(1,1)处导数为4,此点的切线为 .
故选a.
例5. ( 今年重庆卷)过坐标原点且与x2+y2 -4x+2y+ =0相切的直线的方程为 ( )
a.y=-3x或y= x b. y=-3x或y=- x c.y=-3x或y=- x d. y=3x或y= x
[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力.
[解答过程]解法1:设切线的方程为
又
故选a.
解法2:由解法1知切点坐标为 由
故选a.
例6.已知两抛物线 , 取何值时 , 有且只有一条公切线,求出此时公切线的方程.
思路启迪:先对 求导数.
解答过程:函数 的导数为 ,曲线 在点p( )处的切线方程为 ,即 ①
曲线 在点q 的切线方程是 即
②
若直线 是过点p点和q点的公切线,则①式和②式都是 的方程,故得
,消去 得方程,
若△= ,即 时,解得 ,此时点p、q重合.
∴当时 , 和 有且只有一条公切线,由①式得公切线方程为 .
考点3 导数的应用
中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数,导数是研究函数性质的重要而有力的工具,特别是对于函数的单调性,以"导数"为工具,能对其进行全面的分析,为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法,进而与不等式的证明,讨论方程解的情况等问题结合起来,极大地丰富了中学思想方法.复习时,应高度重视以下问题:
1.. 求函数的解析式; 2. 求函数的值域; 3.解决单调性问题; 4.求函数的极值(最值);
5.构造函数证明不等式.
典型例题
例7.(今年天津卷)函数 的定义域为开区间 ,导函数 在 内的图象如图所示,则函数 在开区间 内有极小值点( )
a.1个
b.2个
c.3个
d. 4个
[考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力.
[解答过程]由图象可见,在区间 内的图象上有一个极小值点.
故选a.
例8 .(今年全国一)设函数 在 及 时取得极值.
(Ⅰ)求a、b的值;
&
nbsp; (Ⅱ)若对于任意的 ,都有 成立,求c的取值范围.
思路启迪:利用函数 在 及 时取得极值构造方程组求a、b的值.
解答过程:(Ⅰ) ,
因为函数 在 及 取得极值,则有 , .
即
解得 , .
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知, ,
.
当 时, ;
当 时, ;
当 时, .
所以,当 时, 取得极大值 ,又 , .
则当 时, 的最大值为 .
因为对于任意的 ,有 恒成立,
所以 ,
解得 或 ,
因此 的取值范围为 .
例9.函数 的值域是_____________.
思路启迪:求函数的值域,是中学中的难点,一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解,也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂,采用导数法求解较为容易。
解答过程:由 得, ,即函数的定义域为 .
,
又 ,
当 时, ,
函数 在 上是增函数,而 , 的值域是 .
例10.(今年天津卷)已知函数 ,其中 为参数,且 .
(1)当时 ,判断函数 是否有极值;
(2)要使函数 的极小值大于零,求参数 的取值范围;
(3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数 ,函数 在区间 内都是增函数,求实数 的取值范围.
[考查目的]本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力,以及分类讨论的思想方法.
[解答过程](Ⅰ)当 时, ,则 在 内是增函数,故无极值.
(Ⅱ) ,令 ,得 .
由(Ⅰ),只需分下面两种情况讨论.
①当 时,随x的变化 的符号及 的变化情况如下表:
x
0
+ 0 - 0 +
↗ 极大值
↘ 极小值 ↗
因此,函数 在 处取得极小值 ,且 .
要使 ,必有 ,可得 .
由于 ,故 .
②当时 ,随x的变化, 的符号及 的变化情况如下表:
+ 0 - 0 +
极大值
极小值 因此,函数 处取得极小值 ,且
若 ,则 .矛盾.所以当 时, 的极小值不会大于零.
综上,要使函数 在 内的极小值大于零,参数 的取值范围为 .
(iii)解:由(ii)知,函数 在区间 与 内都是增函数。
由题设,函数 内是增函数,则a须满足不等式组
或
由(ii),参数时 时, .要使不等式 关于参数 恒成立,必有 ,即 .
综上,解得 或 .
所以 的取值范围是 .
例11.(今年山东卷)设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a -1,求f(x)的单调区间.
[考查目的]本题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的思想分析问题解决问题的能力
[解答过程]由已知得函数 的定义域为 ,且
(1)当 时, 函数 在 上单调递减,
(2)当 时,由 解得
、 随 的变化情况如下表
- 0 +
极小值 从上表可知
当 时, 函数 在 上单调递减.
当 时, 函数 在 上单调递增.
综上所述:当 时,函数 在 上单调递减.
当 时,函数 在 上单调递减,函数 在 上单调递增.
例12.(今年北京卷)已知函数 在点 处取得极大值 ,其导函数 的图象经过点 , ,如图所示.求:
(Ⅰ) 的值;
(Ⅱ) 的值.
[考查目的]本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值, 函数与方程的转化等基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的思想分析问题解决问题的能力
[解答过程]解法一:(Ⅰ)由图像可知,在 上 ,在 上 ,在 上 ,
故 在 上递增,在 上递减,
因此 在 处取得极大值,所以
(Ⅱ)
由
得
解得
解法二:(Ⅰ)同解法一
(Ⅱ)设
又
所以
由 即 得
所以
例13.(今年湖北卷)设 是函数 的一个极值点.
(Ⅰ)求 与 的关系式(用 表示 ),并求 的单调区间;
(Ⅱ)设 , .若存在 使得 成立,求 的取值范围.
[考查目的]本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识,考查综合运用知识解决问题的能力.
[解答过程](Ⅰ)f `(x)=-[x2+(a-2)x+b-a ]e3-x,
由f `(3)=0,得 -[32+(a-2)3+b-a ]e3-3=0,即得b=-3-2a,
则 f `(x)=[x2+(a-2)x-3-2a-a ]e3-x
=-[x2+(a-2)x-3-3a ]e3-x=-(x-3)(x+a+1)e3-x.
令f `(x)=0,得x1=3或x2=-a-1,由于x=3是极值点,
所以x+a+1≠0,那么a≠-4.
当a<-4时,x2>3=x1,则
在区间(-∞,3)上,f `(x)<0, f (x)为减函数;
在区间(3,―a―1)上,f `(x)>0,f (x)为增函数;
在区间(―a―1,+∞)上,f `(x)<0,f (x)为减函数.
当a>-4时,x2<3=x1,则
在区间(-∞,―a―1)上,f `(x)<0, f (x)为减函数;
在区间(―a―1,3)上,f `(x)>0,f (x)为增函数;
在区间(3,+∞)上,f `(x)<0,f (x)为减函数.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a>0时,f (x)在区间(0,3)上的单调递增,在区间(3,4)上单调递减,那么f (x)在区间[0,4]上的值域是[min(f (0),f (4) ),f (3)],
; 而f (0)=-(2a+3)e3<0,f (4)=(2a+13)e-1>0,f (3)=a+6,
那么f (x)在区间[0,4]上的值域是[-(2a+3)e3,a+6].
又 在区间[0,4]上是增函数,
且它在区间[0,4]上的值域是[a2+ ,(a2+ )e4],
由于(a2+ )-(a+6)=a2-a+ =( )2≥0,所以只须仅须
(a2+ )-(a+6)<1且a>0,解得0<a< .
故a的取值范围是(0, ).
例14 (今年全国二)
已知函数
在 处取得极大值,在 处取得极小值,且 .
(1)证明 ;
(2)若z=a+2b,求z的取值范围。
[解答过程]求函数 的导数 .
(Ⅰ)由函数 在 处取得极大值,在 处取得极小值,知 是 的两个根.
所以
当 时, 为增函数, ,由 , 得 .
(Ⅱ)在题设下, 等价于 即 .
化简得 .
此不等式组表示的区域为平面 上三条直线: .
所围成的 的内部,其三个顶点分别为: .
在这三点的值依次为 .
所以 的取值范围为 .
小结:本题的新颖之处在把函数的导数与线性
规划有机结合.
考点4 导数的实际应用
建立函数模型,利用
典型例题
例15. (今年重庆文)
用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?
[考查目的]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识,考查运用知识分析和解决实际问题的能力.
[解答过程]设长方体的宽为x(m),则长为2x(m),高为
.
故长方体的体积为
从而
令v′(x)=0,解得x=0(舍去)或x=1,因此x=1.
当0<x<1时,v′(x)>0;当1<x< 时,v′(x)<0,
故在x=1处v(x)取得极大值,并且这个极大值就是v(x)的最大值。
从而最大体积v=v′(x)=9×12-6×13(m3),此时长方体的长为2 m,高为1.5 m.
答:当长方体的长为2 m时,宽为1 m,高为1.5 m时,体积最大,最大体积为3 m3。
例16.(今年福建卷)统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗
油量 (升)关于行驶速度 (千米/小时)的函数解析式可以表示为:
已知甲、乙两地相距100千米.
(i)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?
(ii)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?
[考查目的]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识,考查运用知识分析和解决实际问题的能力.
[解答过程](i)当 时,汽车从甲地到乙地行驶了 小时,
要耗没 (升).
答:当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油17.5升。
(ii)当速度为 千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了 小时,设耗油量为 升,依题意得
令 得
当 时, 是减函数;当 时, 是增函数.
当 时, 取到极小值
因为 在 上只有一个极值,所以它是最小值.
答:当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升.
【专题训练与预测】
一、选择题
1. y=esinxcos(sinx),则y′(0)等于( )
a.0 b.1 c.-1 d.2
2.经过原点且与曲线y= 相切的方程是( )
a.x+y=0或 +y=0 b.x-y=0或 +y=0
c.x+y=0或 -y=0 d.x-y=0或 -y=0
3.设f(x)可导,且f′(0)=0,又 =-1,则f(0)( )
a.可能不是f(x)的极值 b.一定是f(x)的极值
c.一定是f(x)的极小值 d.等于0
4.设函数fn(x)=n2x2(1-x)n(n为正整数),则fn(x)在[0,1]上的最大值为( )
a.0 b.1 c. d.
5、函数y=(x2-1)3+1在x=-1处( )
a、 有极大值 b、无极值 c、有极小值 d、无法确定极值情况
6.f(x)=ax3+3x2+2,f'(-1)=4,则a=( )
a、 b、 c、 d、
7.过抛物线y=x2上的点m( )的切线的倾斜角是( )
a、300 b、450 c、600 d、900
8.函数f(x)=x3-6bx+3b在(0,1)内有极小值,则实数b的取值范围是( )
a、(0,1) b、(-∞,1) c、(0,+∞) d、(0, )
9.函数y=x3-3x+3在[ ]上的最小值是( )
a、 b、1 c、 d、5
10、若f(x)=x3+ax2+bx+c,且f(0)=0为函数的极值,则( )
a、c≠0 b、当a>0时,f(0)为极大值
c、b=0 d、当a<0时,f(0)为极小值
11、已知函数y=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的一个递增区间是( )
a、(2,3)
b、(3,+∞) c、(2,+∞) d、(-∞,3)
12、方程6x5-15x4+10x3+1=0的实数解的集合中( )
a、至少有2个元素 b、至少有3个元素 c、至多有1个元素 d、恰好有5个元素
二、填空题
13.若f′(x0)=2, =_________.
14.设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n),则f′(0)=_________.
15.函数f(x)=loga(3x2+5x-2)(a>0且a≠1)的单调区间_________.
16.在半径为r的圆内,作内接等腰三角形,当底边上高为_________时它的面积最大.
三、解答题
17.已知曲线c:y=x3-3x2+2x,直线l:y=kx,且l与c切于点(x0,y0)(x0≠0),求直线l的方程及切点坐标.
18.求函数f(x)=p2x2(1-x)p(p∈n+),在[0,1]内的最大值.
19.证明双曲线xy=a2上任意一点的切线与两坐标轴组成的三角形面积等于常数.
20.求函数的导数
(1)y=(x2-2x+3)e2x;
(2)y= .
21.有一个长度为5 m的梯子贴靠在笔直的墙上,假设其下端沿地板以3 m/s的速度离开墙脚滑动,求当其下端离开墙脚1.4 m时,梯子上端下滑的速度.
22.求和sn=12+22x+32x2+…+n2xn-1,(x≠0,n∈n*).
23.设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,试确定a的取值范围,并求其单调区间.
24.设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点.
(1)试确定常数a和b的值;
(2)试判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值还是极小值,并说明理由.
25.已知a、b为实数,且b>a>e,其中e为自然对数的底,求证:ab>ba.
26.设关于x的方程2x2-ax-2=0的两根为α、β(α<β),函数f(x)= .
(1)求f(α)·f(β)的值;
(2)证明f(x)是[α,β]上的增函数;
(3)当a为何值时,f(x)在区间[α,β]上的最大值与最小值之差最小?
【参考答案】
一、1.解析:y′=esinx[cosxcos(sinx)-cosxsin(sinx)],y′(0)=e0(1-0)=1.
答案:b
2.解析:设切点为(x0,y0),则切线的斜率为k= ,另一方面,y′=( )′= ,故
y′(x0)=k,即 或x02+18x0+45=0得x0(1)=-3,y0(2)=-15,对应有y0(1)=3,y0(2)= ,因此得两个切点a(-3,3)或b(-15, ),从而得y′(a)= =-1及y′(b)= ,由于切线过原点,故得切线:la:y=-x或lb:y=- .
答案:a
3.解析:由 =-1,故存在含有0的区间(a,b)使当x∈(a,b),x≠0时 <0,于是当x∈(a,0)时f′(0)>0,当x∈(0,b)时,f′(0)<0,这样f(x)在(a,0)上单增,在(0,b)上单减.
答案:b
4.解析:∵f′n(x)=2xn2(1-x)n-n3x2(1-x)n-1=n2x(1-x)n-1[2(1-x)-nx],令f′n(x)=0,得x1=0,x2=1,x3= ,易知fn(x)在x= 时取得最大值,最大值fn( )=n2( )2(1- )n=4·( )n+1.
答案:d
5、b 6、a 7、b 8、d 9、b 10、c 11、b 12、c
二、13.解析:根据导数的定义:f′(x0)= (这时 )
答案:-1
14.解析:设g(x)=(x+1)(x+2)……(x+n),则f(x)=xg(x),于是f′(x)=g(x)+xg′(x),
f′(0)=g(0)+0·g′(0)=g(0)=1·2·…n=n!
答案:n!
15.解析:函数的定义域是x> 或x<-2,f′(x)= .(3x2+5x-2)′= ,
①若a>1,则当x> 时,logae>0,6x+5>0,(3x-1)(x+2)>0,∴f′(x)>0,∴函数f(x)在( ,+∞)上是增函数,x<-2时,f′(x)<0.∴函数f(x)在(-∞,-2)上是减函数.
②若0<a<1,则当x> 时,f′(x)<0,∴f(x)在( ,+∞)上是减函数,当x<-2时,
f′(x)>0,∴f(x)在(-∞,-2)上是增函数.
答案:(-∞,-2)
16.解析:设圆内接等腰三角形的底边长为2x,高为h,那么h=ao+bo=r+ ,解得
x2=h(2r-h),于是内接三角形的面积为
s=x·h=
从而
.
令s′=0,解得h= r,由于不考虑不存在的情况,所在区间(0,2r)上列表如下:
h (0, r)
r
( ,2r) s′ + 0 -
s 增函数 最大值 减函数
由此表可知,当x= r时,等腰三角形面积最大.
答案: r
三、17. 解:由l过原点,知k= (x0≠0),点(x0,y0)在曲线c上,y0=x03-3x02+2x0,
∴ =x02-3x0+2,y′=3x2-6x+2,k=3x02-6x0+2
又k= ,∴3x02-6x0+2=x02-3x0+2,2x02-3x0=0,∴x0=0或x0= .
由x≠0,知x0= ,
∴y0=( )3-3( )2+2· =- .∴k= =- .
∴l方程y=- x 切点( ,- ).
18. ,
令f'(x)=0得,x=0,x=1,x= ,
在[0,1]上,f(0)=0,f(1)=0, .
∴ .
19.设双曲线上任一点p(x0,y0),
,
∴ 切线方程 ,
令y=0,则x=2x0
令x=0,则 .
∴ .
20.解:(1)注意到y>0,两端取对数,得
lny=ln(x2-2x+3)+lne2x=ln(x2-2x+3)+2x,
(2)两端取对数,得
ln|y|= (ln|x|-ln|1-x|),
两边解x求导,得
21.解:设经时间t秒梯子上端下滑s米,则s=5- ,当下端移开1.4 m时,t0= ,
又s′=- (25-9t2) ·(-9·2t)=9t ,
所以s′(t0)=9× =0.875(m/s).
22.解:(1)当x=1时,sn=12+22+32+…+n2= n(n+1)(2n+1),当x≠1时,1+2x+3x2+…+nxn-1= ,两边同乘以x,得
&n
bsp; x+2x2+3x2+…+nxn= 两边对x求导,得
sn=12+22x2+32x2+…+n2xn-1
= .
23.解:f′(x)=3ax2+1.
若a>0,f′(x)>0对x∈(-∞,+∞)恒成立,此时f(x)只有一个单调区间,矛盾.
若a=0,f′(x)=1>0,∴x∈(-∞,+∞),f(x)也只有一个单调区间,矛盾.
若a<0,∵f′(x)=3a(x+ )·(x- ),此时f(x)恰有三个单调区间.
∴a<0且单调减区间为(-∞,- )和( ,+∞),
单调增区间为(- , ).
24.解:f′(x)= +2bx+1,
(1) 由极值点的必要条件可知:f′(1)=f′(2)=0,即a+2b+1=0,且 +4b+1=0,
解方程组可得a=- ,b=- ,∴f(x)=- lnx- x2+x,
(2)f′(x)=- x-1- x+1,当x∈(0,1)时,f′(x)<0,当x∈(1,2)时,f′(x)>0,当x∈(2,+∞)时,f′(x)<0,故在x=1处函数f(x)取得极小值 ,在x=2处函数取得极大值 - ln2.
25.证法一:∵b>a>e,∴要证ab>ba,只要证blna>alnb,设f(b)=blna-alnb(b>e),则
f′(b)=lna- .∵b>a>e,∴lna>1,且 <1,∴f′(b)>0.∴函数f(b)=blna-alnb在(e,+∞)上是增函数,∴f(b)>f(a)=alna-alna=0,即blna-alnb>0,∴blna>alnb,∴ab>ba.
证法二:要证ab>ba,只要证blna>alnb(e<a<b ,即证 ,设f(x)= (x>e),则f′(x)= <0,∴函数f(x)在(e,+∞)上是减函数,又∵e<a<b,
∴f(a)>f(b),即 ,∴ab>ba.
26.解:(1)f(α)= ,f(β)= ,f(α)=f(β)=4,
(2)设φ(x)=2x2-ax-2,则当α<x<β时,φ(x)<0,
.
∴函数f(x)在(α,β)上是增函数.
(3)函数f(x)在[α,β]上最大值f(β)>0,最小值f(α)<0,
∵|f(α)·f(β)|=4,∴当且仅当f(β)=-f(α)=2时,f(β)-f(α)=|f(β)|+|f(α)|取最小值4,此时a=0,f(β)=2
导数命题趋势:
综观历届全国各套,我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与特点:
(1)多项式求导(结合不等式求参数取值范围),和求斜率(切线方程结合函数求最值)问题.
(2)求极值, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合.
分值在12---17分之间,一般为1个选择题或1个填空题,1个解答题.
【考点透视】
1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等);掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念.
2.熟记基本导数公式;掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数.
3.理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值.
【例题解析】
考点1 导数的概念
对概念的要求:了解导数概念的实际背景,掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念.
例1.(今年北京卷) 是 的导函数,则 的值是 .
[考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力.
[解答过程]
故填3.
例2. ( 今年湖南卷)设函数 ,集合m= ,p= ,若m p,则实数a的取值范围是 ( )
a.(-∞,1) b.(0,1) c.(1,+∞) d. [1,+∞)
[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.
[解答过程]由
综上可得m p时,
考点2 曲线的切线
(1)关于曲线在某一点的切线
求曲线y=f(x)在某一点p(x,y)的切线,即求出函数y=f(x)在p点的导数就是曲线在该点的切线的斜率.
(2)关于两曲线的公切线
若一直线同时与两曲线相切,则称该直线为两曲线的公切线.
典型例题
例3.(今年湖南文)已知函数 在区间 , 内各有一个极值点.
(i)求 的最大值;
(ii)当 时,设函数 在点 处的切线为 ,若 在点 处穿过函数 的图象(即动点在点 附近沿曲线 运动,经过点 时,从 的一侧进入另一侧),求函数 的表达式.
思路启迪:用求导来求得切线斜率.
解答过程:(i)因为函数 在区间 , 内分别有一个极值点,所以 在 , 内分别有一个实根,
设两实根为 ( ),则 ,且 .于是
, ,且当 ,即 , 时等号成立.故 的最大值是16.
(ii)解法一:由 知 在点 处的切线 的方程是
,即 ,
因为切线 在点 处空过 的图象,
所以 在 两边附近的函数值异号,则
不是 的极值点.
而 ,且
.
若 ,则 和 都是 的极值点.
所以 ,即 ,又由 ,得 ,故 .
解法二:同解法一得
.
因为切线 在点 处穿过 的图象,所以 在 两边附近的函数值异号,于是存在 ( ).
当 时, ,当 时, ;
或当 时, ,当 时, .
设 ,则
当 时, ,当 时, ;
或当 时, ,当 时, .
由 知 是 的一个极值点,则 ,
所以 ,又由 ,得 ,故 .
例4.(今年安徽卷)若曲线 的一条切线 与直线 垂直,则 的方程为( )
a. b.
c. d.
[考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.
[解答过程]与直线 垂直的直线 为 ,即 在某一点的导数为4,而 ,所以 在(1,1)处导数为4,此点的切线为 .
故选a.
例5. ( 今年重庆卷)过坐标原点且与x2+y2 -4x+2y+ =0相切的直线的方程为 ( )
a.y=-3x或y= x b. y=-3x或y=- x c.y=-3x或y=- x d. y=3x或y= x
[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力.
[解答过程]解法1:设切线的方程为
又
故选a.
解法2:由解法1知切点坐标为 由
故选a.
例6.已知两抛物线 , 取何值时 , 有且只有一条公切线,求出此时公切线的方程.
思路启迪:先对 求导数.
解答过程:函数 的导数为 ,曲线 在点p( )处的切线方程为 ,即 ①
曲线 在点q 的切线方程是 即
②
若直线 是过点p点和q点的公切线,则①式和②式都是 的方程,故得
,消去 得方程,
若△= ,即 时,解得 ,此时点p、q重合.
∴当时 , 和 有且只有一条公切线,由①式得公切线方程为 .
考点3 导数的应用
中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数,导数是研究函数性质的重要而有力的工具,特别是对于函数的单调性,以"导数"为工具,能对其进行全面的分析,为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法,进而与不等式的证明,讨论方程解的情况等问题结合起来,极大地丰富了中学思想方法.复习时,应高度重视以下问题:
1.. 求函数的解析式; 2. 求函数的值域; 3.解决单调性问题; 4.求函数的极值(最值);
5.构造函数证明不等式.
典型例题
例7.(今年天津卷)函数 的定义域为开区间 ,导函数 在 内的图象如图所示,则函数 在开区间 内有极小值点( )
a.1个
b.2个
c.3个
d. 4个
[考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力.
[解答过程]由图象可见,在区间 内的图象上有一个极小值点.
故选a.
例8 .(今年全国一)设函数 在 及 时取得极值.
(Ⅰ)求a、b的值;
&
nbsp; (Ⅱ)若对于任意的 ,都有 成立,求c的取值范围.
思路启迪:利用函数 在 及 时取得极值构造方程组求a、b的值.
解答过程:(Ⅰ) ,
因为函数 在 及 取得极值,则有 , .
即
解得 , .
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知, ,
.
当 时, ;
当 时, ;
当 时, .
所以,当 时, 取得极大值 ,又 , .
则当 时, 的最大值为 .
因为对于任意的 ,有 恒成立,
所以 ,
解得 或 ,
因此 的取值范围为 .
例9.函数 的值域是_____________.
思路启迪:求函数的值域,是中学中的难点,一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解,也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂,采用导数法求解较为容易。
解答过程:由 得, ,即函数的定义域为 .
,
又 ,
当 时, ,
函数 在 上是增函数,而 , 的值域是 .
例10.(今年天津卷)已知函数 ,其中 为参数,且 .
(1)当时 ,判断函数 是否有极值;
(2)要使函数 的极小值大于零,求参数 的取值范围;
(3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数 ,函数 在区间 内都是增函数,求实数 的取值范围.
[考查目的]本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力,以及分类讨论的思想方法.
[解答过程](Ⅰ)当 时, ,则 在 内是增函数,故无极值.
(Ⅱ) ,令 ,得 .
由(Ⅰ),只需分下面两种情况讨论.
①当 时,随x的变化 的符号及 的变化情况如下表:
x
0
+ 0 - 0 +
↗ 极大值
↘ 极小值 ↗
因此,函数 在 处取得极小值 ,且 .
要使 ,必有 ,可得 .
由于 ,故 .
②当时 ,随x的变化, 的符号及 的变化情况如下表:
+ 0 - 0 +
极大值
极小值 因此,函数 处取得极小值 ,且
若 ,则 .矛盾.所以当 时, 的极小值不会大于零.
综上,要使函数 在 内的极小值大于零,参数 的取值范围为 .
(iii)解:由(ii)知,函数 在区间 与 内都是增函数。
由题设,函数 内是增函数,则a须满足不等式组
或
由(ii),参数时 时, .要使不等式 关于参数 恒成立,必有 ,即 .
综上,解得 或 .
所以 的取值范围是 .
例11.(今年山东卷)设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a -1,求f(x)的单调区间.
[考查目的]本题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的思想分析问题解决问题的能力
[解答过程]由已知得函数 的定义域为 ,且
(1)当 时, 函数 在 上单调递减,
(2)当 时,由 解得
、 随 的变化情况如下表
- 0 +
极小值 从上表可知
当 时, 函数 在 上单调递减.
当 时, 函数 在 上单调递增.
综上所述:当 时,函数 在 上单调递减.
当 时,函数 在 上单调递减,函数 在 上单调递增.
例12.(今年北京卷)已知函数 在点 处取得极大值 ,其导函数 的图象经过点 , ,如图所示.求:
(Ⅰ) 的值;
(Ⅱ) 的值.
[考查目的]本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值, 函数与方程的转化等基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的思想分析问题解决问题的能力
[解答过程]解法一:(Ⅰ)由图像可知,在 上 ,在 上 ,在 上 ,
故 在 上递增,在 上递减,
因此 在 处取得极大值,所以
(Ⅱ)
由
得
解得
解法二:(Ⅰ)同解法一
(Ⅱ)设
又
所以
由 即 得
所以
例13.(今年湖北卷)设 是函数 的一个极值点.
(Ⅰ)求 与 的关系式(用 表示 ),并求 的单调区间;
(Ⅱ)设 , .若存在 使得 成立,求 的取值范围.
[考查目的]本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识,考查综合运用知识解决问题的能力.
[解答过程](Ⅰ)f `(x)=-[x2+(a-2)x+b-a ]e3-x,
由f `(3)=0,得 -[32+(a-2)3+b-a ]e3-3=0,即得b=-3-2a,
则 f `(x)=[x2+(a-2)x-3-2a-a ]e3-x
=-[x2+(a-2)x-3-3a ]e3-x=-(x-3)(x+a+1)e3-x.
令f `(x)=0,得x1=3或x2=-a-1,由于x=3是极值点,
所以x+a+1≠0,那么a≠-4.
当a<-4时,x2>3=x1,则
在区间(-∞,3)上,f `(x)<0, f (x)为减函数;
在区间(3,―a―1)上,f `(x)>0,f (x)为增函数;
在区间(―a―1,+∞)上,f `(x)<0,f (x)为减函数.
当a>-4时,x2<3=x1,则
在区间(-∞,―a―1)上,f `(x)<0, f (x)为减函数;
在区间(―a―1,3)上,f `(x)>0,f (x)为增函数;
在区间(3,+∞)上,f `(x)<0,f (x)为减函数.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a>0时,f (x)在区间(0,3)上的单调递增,在区间(3,4)上单调递减,那么f (x)在区间[0,4]上的值域是[min(f (0),f (4) ),f (3)],
; 而f (0)=-(2a+3)e3<0,f (4)=(2a+13)e-1>0,f (3)=a+6,
那么f (x)在区间[0,4]上的值域是[-(2a+3)e3,a+6].
又 在区间[0,4]上是增函数,
且它在区间[0,4]上的值域是[a2+ ,(a2+ )e4],
由于(a2+ )-(a+6)=a2-a+ =( )2≥0,所以只须仅须
(a2+ )-(a+6)<1且a>0,解得0<a< .
故a的取值范围是(0, ).
例14 (今年全国二)
已知函数
在 处取得极大值,在 处取得极小值,且 .
(1)证明 ;
(2)若z=a+2b,求z的取值范围。
[解答过程]求函数 的导数 .
(Ⅰ)由函数 在 处取得极大值,在 处取得极小值,知 是 的两个根.
所以
当 时, 为增函数, ,由 , 得 .
(Ⅱ)在题设下, 等价于 即 .
化简得 .
此不等式组表示的区域为平面 上三条直线: .
所围成的 的内部,其三个顶点分别为: .
在这三点的值依次为 .
所以 的取值范围为 .
小结:本题的新颖之处在把函数的导数与线性
规划有机结合.
考点4 导数的实际应用
建立函数模型,利用
典型例题
例15. (今年重庆文)
用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?
[考查目的]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识,考查运用知识分析和解决实际问题的能力.
[解答过程]设长方体的宽为x(m),则长为2x(m),高为
.
故长方体的体积为
从而
令v′(x)=0,解得x=0(舍去)或x=1,因此x=1.
当0<x<1时,v′(x)>0;当1<x< 时,v′(x)<0,
故在x=1处v(x)取得极大值,并且这个极大值就是v(x)的最大值。
从而最大体积v=v′(x)=9×12-6×13(m3),此时长方体的长为2 m,高为1.5 m.
答:当长方体的长为2 m时,宽为1 m,高为1.5 m时,体积最大,最大体积为3 m3。
例16.(今年福建卷)统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗
油量 (升)关于行驶速度 (千米/小时)的函数解析式可以表示为:
已知甲、乙两地相距100千米.
(i)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?
(ii)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?
[考查目的]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识,考查运用知识分析和解决实际问题的能力.
[解答过程](i)当 时,汽车从甲地到乙地行驶了 小时,
要耗没 (升).
答:当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油17.5升。
(ii)当速度为 千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了 小时,设耗油量为 升,依题意得
令 得
当 时, 是减函数;当 时, 是增函数.
当 时, 取到极小值
因为 在 上只有一个极值,所以它是最小值.
答:当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升.
【专题训练与预测】
一、选择题
1. y=esinxcos(sinx),则y′(0)等于( )
a.0 b.1 c.-1 d.2
2.经过原点且与曲线y= 相切的方程是( )
a.x+y=0或 +y=0 b.x-y=0或 +y=0
c.x+y=0或 -y=0 d.x-y=0或 -y=0
3.设f(x)可导,且f′(0)=0,又 =-1,则f(0)( )
a.可能不是f(x)的极值 b.一定是f(x)的极值
c.一定是f(x)的极小值 d.等于0
4.设函数fn(x)=n2x2(1-x)n(n为正整数),则fn(x)在[0,1]上的最大值为( )
a.0 b.1 c. d.
5、函数y=(x2-1)3+1在x=-1处( )
a、 有极大值 b、无极值 c、有极小值 d、无法确定极值情况
6.f(x)=ax3+3x2+2,f'(-1)=4,则a=( )
a、 b、 c、 d、
7.过抛物线y=x2上的点m( )的切线的倾斜角是( )
a、300 b、450 c、600 d、900
8.函数f(x)=x3-6bx+3b在(0,1)内有极小值,则实数b的取值范围是( )
a、(0,1) b、(-∞,1) c、(0,+∞) d、(0, )
9.函数y=x3-3x+3在[ ]上的最小值是( )
a、 b、1 c、 d、5
10、若f(x)=x3+ax2+bx+c,且f(0)=0为函数的极值,则( )
a、c≠0 b、当a>0时,f(0)为极大值
c、b=0 d、当a<0时,f(0)为极小值
11、已知函数y=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的一个递增区间是( )
a、(2,3)
b、(3,+∞) c、(2,+∞) d、(-∞,3)
12、方程6x5-15x4+10x3+1=0的实数解的集合中( )
a、至少有2个元素 b、至少有3个元素 c、至多有1个元素 d、恰好有5个元素
二、填空题
13.若f′(x0)=2, =_________.
14.设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n),则f′(0)=_________.
15.函数f(x)=loga(3x2+5x-2)(a>0且a≠1)的单调区间_________.
16.在半径为r的圆内,作内接等腰三角形,当底边上高为_________时它的面积最大.
三、解答题
17.已知曲线c:y=x3-3x2+2x,直线l:y=kx,且l与c切于点(x0,y0)(x0≠0),求直线l的方程及切点坐标.
18.求函数f(x)=p2x2(1-x)p(p∈n+),在[0,1]内的最大值.
19.证明双曲线xy=a2上任意一点的切线与两坐标轴组成的三角形面积等于常数.
20.求函数的导数
(1)y=(x2-2x+3)e2x;
(2)y= .
21.有一个长度为5 m的梯子贴靠在笔直的墙上,假设其下端沿地板以3 m/s的速度离开墙脚滑动,求当其下端离开墙脚1.4 m时,梯子上端下滑的速度.
22.求和sn=12+22x+32x2+…+n2xn-1,(x≠0,n∈n*).
23.设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,试确定a的取值范围,并求其单调区间.
24.设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点.
(1)试确定常数a和b的值;
(2)试判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值还是极小值,并说明理由.
25.已知a、b为实数,且b>a>e,其中e为自然对数的底,求证:ab>ba.
26.设关于x的方程2x2-ax-2=0的两根为α、β(α<β),函数f(x)= .
(1)求f(α)·f(β)的值;
(2)证明f(x)是[α,β]上的增函数;
(3)当a为何值时,f(x)在区间[α,β]上的最大值与最小值之差最小?
【参考答案】
一、1.解析:y′=esinx[cosxcos(sinx)-cosxsin(sinx)],y′(0)=e0(1-0)=1.
答案:b
2.解析:设切点为(x0,y0),则切线的斜率为k= ,另一方面,y′=( )′= ,故
y′(x0)=k,即 或x02+18x0+45=0得x0(1)=-3,y0(2)=-15,对应有y0(1)=3,y0(2)= ,因此得两个切点a(-3,3)或b(-15, ),从而得y′(a)= =-1及y′(b)= ,由于切线过原点,故得切线:la:y=-x或lb:y=- .
答案:a
3.解析:由 =-1,故存在含有0的区间(a,b)使当x∈(a,b),x≠0时 <0,于是当x∈(a,0)时f′(0)>0,当x∈(0,b)时,f′(0)<0,这样f(x)在(a,0)上单增,在(0,b)上单减.
答案:b
4.解析:∵f′n(x)=2xn2(1-x)n-n3x2(1-x)n-1=n2x(1-x)n-1[2(1-x)-nx],令f′n(x)=0,得x1=0,x2=1,x3= ,易知fn(x)在x= 时取得最大值,最大值fn( )=n2( )2(1- )n=4·( )n+1.
答案:d
5、b 6、a 7、b 8、d 9、b 10、c 11、b 12、c
二、13.解析:根据导数的定义:f′(x0)= (这时 )
答案:-1
14.解析:设g(x)=(x+1)(x+2)……(x+n),则f(x)=xg(x),于是f′(x)=g(x)+xg′(x),
f′(0)=g(0)+0·g′(0)=g(0)=1·2·…n=n!
答案:n!
15.解析:函数的定义域是x> 或x<-2,f′(x)= .(3x2+5x-2)′= ,
①若a>1,则当x> 时,logae>0,6x+5>0,(3x-1)(x+2)>0,∴f′(x)>0,∴函数f(x)在( ,+∞)上是增函数,x<-2时,f′(x)<0.∴函数f(x)在(-∞,-2)上是减函数.
②若0<a<1,则当x> 时,f′(x)<0,∴f(x)在( ,+∞)上是减函数,当x<-2时,
f′(x)>0,∴f(x)在(-∞,-2)上是增函数.
答案:(-∞,-2)
16.解析:设圆内接等腰三角形的底边长为2x,高为h,那么h=ao+bo=r+ ,解得
x2=h(2r-h),于是内接三角形的面积为
s=x·h=
从而
.
令s′=0,解得h= r,由于不考虑不存在的情况,所在区间(0,2r)上列表如下:
h (0, r)
r
( ,2r) s′ + 0 -
s 增函数 最大值 减函数
由此表可知,当x= r时,等腰三角形面积最大.
答案: r
三、17. 解:由l过原点,知k= (x0≠0),点(x0,y0)在曲线c上,y0=x03-3x02+2x0,
∴ =x02-3x0+2,y′=3x2-6x+2,k=3x02-6x0+2
又k= ,∴3x02-6x0+2=x02-3x0+2,2x02-3x0=0,∴x0=0或x0= .
由x≠0,知x0= ,
∴y0=( )3-3( )2+2· =- .∴k= =- .
∴l方程y=- x 切点( ,- ).
18. ,
令f'(x)=0得,x=0,x=1,x= ,
在[0,1]上,f(0)=0,f(1)=0, .
∴ .
19.设双曲线上任一点p(x0,y0),
,
∴ 切线方程 ,
令y=0,则x=2x0
令x=0,则 .
∴ .
20.解:(1)注意到y>0,两端取对数,得
lny=ln(x2-2x+3)+lne2x=ln(x2-2x+3)+2x,
(2)两端取对数,得
ln|y|= (ln|x|-ln|1-x|),
两边解x求导,得
21.解:设经时间t秒梯子上端下滑s米,则s=5- ,当下端移开1.4 m时,t0= ,
又s′=- (25-9t2) ·(-9·2t)=9t ,
所以s′(t0)=9× =0.875(m/s).
22.解:(1)当x=1时,sn=12+22+32+…+n2= n(n+1)(2n+1),当x≠1时,1+2x+3x2+…+nxn-1= ,两边同乘以x,得
&n
bsp; x+2x2+3x2+…+nxn= 两边对x求导,得
sn=12+22x2+32x2+…+n2xn-1
= .
23.解:f′(x)=3ax2+1.
若a>0,f′(x)>0对x∈(-∞,+∞)恒成立,此时f(x)只有一个单调区间,矛盾.
若a=0,f′(x)=1>0,∴x∈(-∞,+∞),f(x)也只有一个单调区间,矛盾.
若a<0,∵f′(x)=3a(x+ )·(x- ),此时f(x)恰有三个单调区间.
∴a<0且单调减区间为(-∞,- )和( ,+∞),
单调增区间为(- , ).
24.解:f′(x)= +2bx+1,
(1) 由极值点的必要条件可知:f′(1)=f′(2)=0,即a+2b+1=0,且 +4b+1=0,
解方程组可得a=- ,b=- ,∴f(x)=- lnx- x2+x,
(2)f′(x)=- x-1- x+1,当x∈(0,1)时,f′(x)<0,当x∈(1,2)时,f′(x)>0,当x∈(2,+∞)时,f′(x)<0,故在x=1处函数f(x)取得极小值 ,在x=2处函数取得极大值 - ln2.
25.证法一:∵b>a>e,∴要证ab>ba,只要证blna>alnb,设f(b)=blna-alnb(b>e),则
f′(b)=lna- .∵b>a>e,∴lna>1,且 <1,∴f′(b)>0.∴函数f(b)=blna-alnb在(e,+∞)上是增函数,∴f(b)>f(a)=alna-alna=0,即blna-alnb>0,∴blna>alnb,∴ab>ba.
证法二:要证ab>ba,只要证blna>alnb(e<a<b ,即证 ,设f(x)= (x>e),则f′(x)= <0,∴函数f(x)在(e,+∞)上是减函数,又∵e<a<b,
∴f(a)>f(b),即 ,∴ab>ba.
26.解:(1)f(α)= ,f(β)= ,f(α)=f(β)=4,
(2)设φ(x)=2x2-ax-2,则当α<x<β时,φ(x)<0,
.
∴函数f(x)在(α,β)上是增函数.
(3)函数f(x)在[α,β]上最大值f(β)>0,最小值f(α)<0,
∵|f(α)·f(β)|=4,∴当且仅当f(β)=-f(α)=2时,f(β)-f(α)=|f(β)|+|f(α)|取最小值4,此时a=0,f(β)=2