下学期 5.3实数与向量的积2_高一数学教案
（第二课时）
一．教学目标
1．了解平面向量基本定理的证明．掌握平面向量基本定理及其应用；
2．能够在解题中适当地选择基底，使其它向量能够用选取的基底表示．
二．教学重点：平面向量基本定理
教学难点：理解平面向量基本定理．
三．教学具准备
直尺、投影仪．
四．教学过程
1．设置情境
上节课我们学习了共线向量的基本定理，通过它们判定两个向量是否平行，而且共线向量可由该集合中的任一非零向量表示出来．这个非零向量叫基向量．那么平面上的任一向量是否也具有类似属性呢？如果是这样的话，对平面上任一向量的研究就可以化归为对基向量的研究了．
2．探索研究
师：向量
与非零向量
共线的充要条件是什么？
生：有且仅有一个实数
，使得
师：如何作出向量
？
生：在平面上任取一点
，作
，
，则
师：对！我们知道向量
是向量
与
的合成，
、
也可以看做是由向量
的分解，是不是每一个向量都可以分解两个不共线的向量呢？
平面向量基本定理：如果
、
是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量
，有且只有一对实数
，
使
我们把不共线的向量
、
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
说明：①实数
，
的确定是由平面几何作图得到的，同时也应用了上节课的共线向量基本定理．
②对该定理重在使用．
下面看例题
【例1】已知向量
、
，求作
．
【例2】如图所示， 
的两条对角线相交于点
，且
，
，用
、
表示
、
、
和
？
解：在 
中
∵
∴
说明：①这些表示方法很常用，要熟记
②用向量法讨论几何问题，关键是选取适当的基向量表示其他向量，本题的基底就是
、
，由它可以“生”成
，
，……．
【例3】如图所示，已知 
的两条对角线
与
交于
，
是任意一点，求证
证明：∵
是对角线
和
的交点
∴
，
．在△
中，
同理：
相加可得：
注：本题也可以取基本向量
，
，
，
，利用三角形中线公式（向量），得
两种表示方式：
①
②
①＋②得
证毕．
【例4】如图所示
、
不共线，
（
），用
，
表示
．
解 ∵
∴
说明：①本题是个重要题型：设
为平面上任一点．
则：
、
、
三点共线
或令
，
则
、
、
三点共线
（其中
）
②当
时，
常称为△
的中线公式（向量式）．
3．演练反馈
（1）命题
：向量
与
共线；命题
：有且只有一个实数
，使
；则
是
的（ ）
a．充分不必要条件 b．必要不充分条件
c．充要条件 d．不充分不必要条件
（2）已知
和
不共线，若
与
共线，则实数
的值等于____________．
（3）如图△
中，点
是
的中点，点
在边
上，且
，
与
相交于点
，求
的值．
参考答案：
（1）b （2）
（3）解：（如图）设
，
，则
，
，∵
、
、
和
、
、
分别共线，∴存在
、
，使
，
．
故
，而
．
∴由基本定理得
∴
∴
，即
4．提炼
（1）当平面内取定一组基底
，
后，任一向量
都被
、
惟一确定，其含义是存在惟一这数对
，使
，则必有
且
．
（2）三点
、
、
共线
（其中
且
）
五．板书设计
