二次函数y=ax2+bx+c 的图象_九年级数学教案

第一课时

　教学目标

　1．使会用描点法画出二次函数 与 的图象；

　2．使能结合图象确定抛物线 与 的对称轴与顶点坐标；

　3．通过比较抛物线 与 同 的相互关系，培养观察、分析、的能力;

　4. 在本节的教学中，继续向进行数形结合、转化的思想方法的渗透；

　5. 通过本节课的教学，培养事物间是互相联系及互相转化的辩证唯物主义观点.

　教学重点：画出形如 与形如 的二次函数的图象，能指出上述函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标.

　教学难点：理解函数 、 与 及其图象间的相互关系

　教学用具：微机

　教学方法：探究式、小组合作学习

　教学过程

　一、复习引入

　提问：1．什么是二次函数？

　2．我们已研究过了什么样的二次函数？

　3．形如 的二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么？

　通过这三个问题，进一步复习巩固所学的知识点，同时引出本节课要学习的问题.

　从这节课开始，我们就来研究二次函数 的图象.（板书课题）

　二、新课

　复习提问：用描点法画出函数 的图象，并根据图象指出：抛物线 的开口方向，对称轴与顶点坐标.（插入 的图片）

　教师可边提问边打开图片，然后可以找来指出抛物线 的开口方向，对称轴及顶点坐标，针对的回答情况加以，评价.

　下面，我们来看一下如何完成下面的例题？

　例1   在同一平面直角坐标系画出函数 、 、 的图象.（插入）

　（一）函数对应值表的区别.

　列表：

　列完表之后，让观察上表归纳出，对于 与 ，任意一个 的值，解析式 的函数值总比 的函数值小1，对于同一个 值， 值总是小1，抛物线上的点向下平行移动一个单位，图象也向下平移一个单位.对于 与 也这样分析.分析完表后，再让同学们看中画出的函数 与 的图象.

　（二）图象的区别.

　然后，由学生来观察上画出的三条抛物线，让思考下列问题：

　（1）抛物线 的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？

　（2）抛物线 的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？

　（3）抛物线 ， 与 的开口方向，对称轴，顶点坐标有何异同？

　（4）抛物线 ， 与 有什么关系？

　通过这四个问题，可使学生深入理解这三条抛物线之间的联系与区别，便于以后分析问题．

　答：形状相同，位置不同．（继续演示，来说明学生观察、推理的正确性，激发的兴趣）

　关于上述回答可继续提问：（可按的层次不同来选择问题的深度）

　①你所说的形状相同具体是指什么？

　答：抛物线的开口方向和开口大小都相同．

　②根据你所学过的知识能否回答：为何这三条抛物线的开口方向和开口大小都相同？

　答：因为a的值相同．

　 通过这一问题，使对此类问题形成规律：抛物线的形状相同就说明a的值相同，而a的值相同就可以说抛物线的形状相同．加深对系数a的作用的理解．

　③这三条抛物线的位置有何不同？它们之间可有什么关系？

　先由思考，讨论之后，给出答案．

　答：若沿y轴平移，这三条抛物线可重合．（演示动画）

　④抛物线 是由抛物线 沿y轴怎样移动了几个单位得到的？抛物线 呢？

　答：抛物线 是由抛物线 沿y轴向上平移1个单位得到的；而抛物线 是由抛物线 沿y轴向下平移1个单位得到的．

　⑤你认为是什么决定了会这样平移？

　答： 中的 的值决定了会这样平移．若 ，则向上平移，若 ，则向下平移．

　练习一　教材p118中1独立完成，口答．

　下面，我们再来看一类二次函数的图象：（演示动画）

　例2在同一平面直角坐标系内画出 与 的图象．（插入动画）

　注意：画这两个图形时，参考前面画图列表时 的取值都是关于某一个值对称的，可先让猜测画这两个图时 的取值各以应什么数为中间点，然后左右能对称．通过这样的训练能帮助以后自主考虑问题时怎样找思路列完表之后，与例l一样处理，演示直到三条抛物线全画出.画完图之后的观察和分析也可仿照例1完成．

　注意：（l）关于抛物线 与 的对称轴的写法，要加以交待，若曾在讲完13．5后阅读过教科书p．113—115，这个问题就好解决了.若没有读过，可由讨论对称轴上点的特征来得到对称轴的表示方法.

　（2）这次图象的平移是沿 轴进行的，平移的单位和方向是由 中的 决定的，特别强调二次函数形式的写法是 ，而不是 .

　练习二p118中2独立完成，口答.

　三、本节小结

　本节课学习了二次函数 与 的图象的画法，主要内容如下。

　（出示幻灯）填写下表：（可让回答）

　表一：

　表二：

　八、布置作业

　教材p124中1（1）、（2）

　九、板书设计

第二课时

　一、教学目标

　1．使会用描点法画出二次函数 的图像；

　2．使知道抛物线 的对称轴与顶点坐标；

　3．通过本节的学习，继续培养的观察、分析、归纳、的能力；

　4．通过本节的教学，继续向进行数形结合的思想方法的，同时向渗透事物间互相联系、以及运动、变化的辩证唯物主义思想；

　5．通过本节课的研究，充分理解并认识到二次函数图像可运动变化的和谐美，通过思维的审美活动，提高对美的追求。

　二、教学重点

　会画形如 的二次函数的图像，并能指出图像的开口方向、对称轴及顶点坐标。

　三、教学难点：确定形如 的二次函数的顶点坐标和对称轴。

　4．解决办法：

　四、教具准备

　三角板或投影片

　1．教师出示投影片，复习 。

　2．请动手画 的图像，正好复习图像的画法，完成表格。

　3．小结 的性质

　4．练习

　五、教学过程

　提问：1．前几节课，我们都学习了形如什么样的二次函数的图像？

　答：形如 。（板书）

　2．这节课我们将来学习一种更复杂的二次函数的图像及其相关问题，你能先猜测一下我们将学习形如什么样的二次函数的问题吗？

　由参考上面给出的三个类型，较容易得到：讨论形如 的二次函数的有关问题．（板书）

　一、 复习引入

　首先，我们先来复习一下前面学习的一些有关知识．（出示幻灯）

　请你在同一直角坐标系内，画出函数 的图像，并指出它们的开口方向，对称轴及顶点坐标．

　这里之所以加上画函数 的图像，是为了使最后通过图像的观察能更全面一些，也更直观一些，可以同时给出图像先沿y轴，再沿 轴移动的方式，也可以给出图像

　先沿 轴再沿y轴移动的方式，使这部分知识能更全面，知识与知识之间的联系能更清晰、更具体．

　画这三个函数图像，可由在同一表中列值，但是要根据各自的不同特点取自变量

　的值，以便于进行观察．教师可事先准备好表格和画有直角坐标系的小黑板，由一名同

　学上黑板完成，其他同学在练习本上完成，待同学们基本做完之后加以，然后再找三名

　同学，分别指出这三个图像的开口方向、对称轴及顶点坐标，填入事先准备好的表格中．

　然后提问：你能否在这个直角坐标系中，再画出函数 的图像？

　由于前面几节课我们已经画了不少二次函数的图像，对画图已经有了一定的经验，

　同时可在画这个图时，把这些经验形成规律，便于以后应用．

　（l）关于列表：主要是合理选值与简化运算的把握，是教学要点．在选值时，首先要考虑的是函数图像的对称性，因此首先要确定中心值，然后再左，右取相同间隔的值；其次，选值时尽量选取整数，便于计算和描点．

　在选取 的值之后，计算y的值时，考虑到对称性，只需计算中心值一侧的值，另一侧由对称性可直接填入，但一定要保证运算正确．

　（2）关于描点：一般可先定顶点（即中心值对应的点，然后利用对称性描出各点，以逐步提高速度．）

　（3）关于连线：特别要注意顶点附近的大致走向。最后画的抛物线应平滑，对称，并符合抛物线的特点．

　由在上面的练习中所列的表中填上这个函数及其对应值，然后画出它的图像，同样找一名同学板演．

　学生画完，教师完之后，让观察黑板上画出的四条抛物线，提问：

　（1）你能否指出抛物线 的开口方向，对称轴，顶点坐标？

　将在上面练习中三条抛物线的性质填入所列的有中，如下表：

　（2）我们已知抛物线的开口方向是由二次函数 中的a的值决定的，你能通过上表中的特征，试着出抛物线的对称轴和顶点坐标是由什么决定的吗？

　这个问题由于是本节课的重点问题，而且不是很容易说清楚，可由学生进行广泛的讨论，先得出对称员的表示方法，再得出顶点坐标。若学生在讨论时没有头绪，教师可适当引导，让把这四个函数都改写成 的形式，可得
　　 ；

　 。然后从这四个式子中加以观察，分析，得出结论；（板书）

　一般地，抛物线 有如下特点：

　① 时，开口向上； 时，开口向下；

　②对称轴是直线 ；

　③顶点坐标是 。

　（3）抛物线 有什么关系？

　答：形状相同，位置不同。

　（4）它们的位置有什么关系？

　这个问题可视的程度来决定问还是不问，以及回答到什么程度。

　根据上节课的学习，能想到是平移科来的，可把这四个图像分成以下几个问题来讨论：①抛物线 是由抛物线 怎样移动得到的？

　②抛物线 是由抛物线 怎样移动得到的？

　③抛物线 是由抛物线 怎样移动得到的？

　④抛物线 是由抛物线 怎样移动得到的？

　⑤抛物线 是由抛物线 怎样移动得到的？

　这个问题分两种方式回答：先沿 轴，再沿 轴移动；或先沿 轴，再沿 轴移动。

　通过这5个问题可使由浅入深地得到这四者之间的关系，如图所示：

　注意：基本形式中的符号，特别是h。

　练习：p120练习口答，及时纠正错误。

　（四）、扩展

　一般的二次函数，都可以变形成 的形式，其中：

　1．a能决定什么？怎样决定的？

　答：a的符号决定抛物线的开口方向；a的绝对值大小抛物线的开口大小。

　2．它的对称轴是什么？顶点坐标是什么？

　六、布置作业

　教材p124中1（3）；p124中3（1）、（2）；p125中

　七、板书设计