反比例函数及其图象_九年级数学教案

教学设计示例1

反比例函数及其图象

　教学目标：

　1、理解反比例函数，并能从实际问题中抽象出反比例关系的函数解析式；

　2、会画出反比例函数的图象，并结合图象分析出反比例函数的性质；

　3、渗透数形结合的思想及普遍联系的辨证唯物主义思想；

　4、体会从实践中来又到实际中去的研究、应用过程；

　5、培养的观察能力，及地发现问题，解决问题的能力.

　教学重点：

　结合图象分析出反比例函数的性质；

　教学难点：描点画出反比例函数的图象

　教学用具：直尺

　教学方法：小组合作、探究式

　教学过程：

　1、从实际引出反比例函数的概念

　我们在小学学过反比例关系.例如：当路程s一定时，时间t与速度v成反比例

　即vt=s（s是常数）；

　当矩形面积s一定时，长a与宽b成反比例，即ab=s（s是常数）

　从函数的观点看，在运动变化的过程中，有两个变量可以分别看成自变量与函数，写成：
　　　 （s是常数）
　　　 （s是常数）
　　一般地，函数 （k是常数， ）叫做反比例函数．

　如上例，当路程s是常数时，时间t就是v的反比例函数．当矩形面积Ｓ是常数时，长a是宽b的反比例函数．

　在现实生活中，也有许多反比例关系的例子．可以组织进行讨论．下面的例子仅供

　2、列表、描点画出反比例函数的图象
　　例1、画出反比例函数 与 的图象
　　解：列表

　说明：由于第一次接触反比例函数，无法推测出它的大致图象.取点的时候最好多取几个，正负可以对称着取分别画点描图

　一般地反比例函数 （k是常数， ）的图象由两条曲线组成，叫做双曲线.

　3、观察图象，归纳、出反比例函数的性质

　前面学习了三类基本的初等函数，有了一定的基础，这里可视的程度或展开全面的讨论，或在的引导下完成知识的学习.

　显示这两个函数的图象，提出问题：你能从图象上发现什么有关反比例函数的性质呢？并能从解析式或列表中得到论证.（下列答案仅供参考）

　（1） 的图象在第一、三象限.可以扩展到k >0时的情形，即k>0时，双曲线两支各在第一和第三象限.从解析式中，也可以得出这个结论：xy=k，即x与y同号，因此，图象在第一、三象限.
　　 的讨论与此类似.
　　抓住机会，说明数与形的统一，也渗透了数形结合的思想方法.体现了由特殊到一般的研究过程.
　　（2）函数 的图象，在每一个象限内，y随x的增大而减小；
　　从图象中可以看出，当x从左向右变化时，图象呈下坡趋势.从列表中也可以看出这样的变化趋势.有理数除法说明了同样的道理，被除数一定时，若除数大于零，除数越大，商越小；若除数小于零，同样是除数越大，商越小.由此可归纳出，当k>0时，函数 的图象，在每一个象限内，y随x的增大而减小.
　　同样可以推出 的图象的性质.
　　（3）函数 的图象不经过原点，且不与x轴、y轴交.从解析式中也可以看出， .如果x取值越来越大时，y的值越来越小，趋近于零；如果x取负值且越来越小时，y的值也越来越趋近于零.因此，呈现的是双曲线的样子.同理，抽象出 图象的性质.
　　函数 的图象性质的讨论与次类似.
　　4、小结：

　本节课我们学习了反比例函数的概念及其图象的性质.大家展开了充分的讨论，对函数的概念，函数的图象的性质有了进一步的认识.学习要求我们要深刻解，找出事物间的普遍联系和发展规律，能地发现问题，并能运用已有的知识，给以一定的解释.即是世界的一个部分，同时又隐藏在世界中.

　5、布置作业      习题13.8   1-4
教学设计示例2

反比例函数及其图像

　一、素质目标

　（一）知识教学点

　1．使了解反比例函数的概念；

　2．使能够根据问题中的条件确定反比例函数的解析式；

　3．使理解反比例函数的性质，会画出它们的图像，以及根据图像指出函数值随自变量的增加或减小而变化的情况；

　4．会用待定系数法确定反比例函数的解析式.

　（二）能力训练点

　1．培养的作图、观察、分析、的能力；

　2．向渗透数形结合的教学思想方法.

　（三）德育渗透点

　1．向渗透实践又反过来作用于实践的观点；

　2．使体会事物是有规律地变化着的观点.

　（四）美育渗透点

　通过反比例函数图像的研究，渗透反映其性质的图像的直观形象美，激发学生的兴趣，也培养积极探求知识的能力.

　二、学法引导

　教师采用类比法、观察法、练习法

　学习反比例函数要与学习其他函数一样，要善于数形结合，由解析式联想到图像的位置及其性质，由图像和性质联想比例系数k的符号.

　三、重点·难点·疑点及解决办法

　1．教学重点：反比例的概念、图像、性质以及用待定系数法确定反比例函数的解析式.因为要研究反比例函数就必须明确反比例函数的上述问题.

　2．教学难点：画反比例函数的图像.因为反比例函数的图像有两个分支，而且这两个分支的变化趋势又不同，初次接触，一定会感到困难.

　3．教学疑点：（1）反比例函数为何与x轴，y轴无交点；（2）反比例函数的图像只能说在第一、三象限或第二、四象限，而不能说经过第几象限，增减性也要说明在第几象限（或说在它的每一个象限内）.

　4．解决办法：（1） 中隐含条件是 或 ；（2）双曲线的两个分支是断开的，研究函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论.

　四、教学步骤

　（一）教学过程

　提问：小学是否学过反比例关系？是如何叙述的？

　由先考虑及讨论一下.

　答：小学学过：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做反比例的量，它们的关系叫做反比例关系.

　看下面的实例：（出示幻灯）

　1． 当路程s一定时，时间t与速度v成反比例；

　2．当矩形面积s一定时，长a与宽b成反比例；

　它们分别可以写成 （s是常数）， （s是常数）写在黑板上，用以得出反比例函数的概念：（板书）

　一般地，函数 （k是常数， ）叫做反比例函数.

　即在上面的例子中，当路程s是常数时，时间t就是速度v的反比例函数，能否说：速度v是时间t的反比例函数呢？

　通过这个问题，使进一步理解反比例函数的概念，只要满足 （k是常数， ）就可以．因此可以说速度v是时间t的反比例函数，因为 （s是常量）．对第2个实例也一样．

　练习一：教材p129中1  口答．p130  1

　根据前面学习特殊函数的经验，研究完函数的概念，跟着要研究的是什么？

　答：图像和性质．

　通过这个问题，使对课本上给出的知识的发生、发展过程有一个明确的认识，以后

　要研究其他函数，也可以按照这种方式来研究．

　下面，我们就来看桓隼题：（出示幻灯?/p>

　例1  画出反比例函数 与 的图像．

　提问：1．画函数图像的关键问题是什么？

　答：合理、正确地选值列表．

　2．在选值时，你认为要注意什么问题？

　答：（1）由于函数图像的特点还不清楚，多选几个点较好；

　（2）不能选 ，因为 时函数无意义；

　（3）选整数较好计算和描点．

　这个问题中最核心的一点是关于 的问题，提醒注意．

　3．你能不能自己完成这道题呢？

　学生在练习本上列表、描点、连线，教师在黑板上板演，到连线时可暂停，让先连完线之后，找一名同学上黑板连线，然后就这名同学的连线加以评价、：

　注意：（1）一般地，反比例函数 的图像由两条曲线组成，叫做双曲线；

　（2）这两条曲线不相交；

　（3）这两条曲线无限延伸，无限靠近x轴和y轴，但永不会与x轴和y轴相交．

　关于注意（3）可问：为什么图像与x和y轴不相交？

　通过这个问题既可加深学生对反比例函数图像的记忆，又可培养思维的灵活性和深刻性．

　再让观察黑板上的图，提问：

　1．当 时，双曲线的两个分支各在哪个象限？在每个象限内，y随x的增大怎样变化？

　2．当 时，双曲线的两个分支各在哪个象限？在每个象限内，y随x的增大怎样变化？

　这两个问题由讨论之后回答，教师板书：

　对于双曲线（1）当 ：（1）当 时，双曲线的两分支位于一、三象限，y随x的增大而减少；（2）当 时，双曲线的两分支位于二、四象限，y随x的增大而增大．
　3．反比例函数的这一性质与正比例函数的性质有何异同？

　通过这个问题使能把学过的相关知识有机地串联起来，便于记忆和应用．

　练习二：教材p129中2由在练习本上完成，教师巡回指导.p130中2、3填在书上

　上面，我们讨论了反比例函数的概念、图像和性质，下面我们再来看一个不同类型的例题：（出示幻灯）

　例2已知y与 成反比例，并且当 时， ，求 时，y的值.

　用提问的方式对此题加以分析：

　（1）y与 成反比例是什么含义？

　由讨论这一问题，最后归结为根据反比例函数的概念，这句话说明了： .

　（2）根据这个式子，能否求出当 时，y的值？

　（3）要想求出y的值，必须先知道哪个量呢？

　（4）怎样才能确定k的值？用什么条件？

　答：用待定系数法，把 时 代入 ，求出k的值.

　（5）你能否自己完成这道例题：

　由一名同学板演，其他同学在练习本上完成.

　例3   已知： ， 与x成正比例， 与x成反比例，当 时， 时， ，求y与x的解析式.

　分析：一定要先写出y与x的函数表达式 ，

　要用x分别把 ， 表示出来得 ，

　要注意 不能写成k，∴

　解：设 ，

　　 .

　　由题意得

　　∴ .

　（二）、扩展

　教师提问，思考回答：

　1．什么是反比例函数？

　2．反比例函数的图像是什么样的？

　3．反比例函数 的性质是什么？

　4．命题方向及题型设置，反比例函数也是中考命题的主要考点，其图像和性质，以及其函数解析式的确定，常以填空题、选择题出现，在低档题中，近两年各省、市的试卷中出现不少将反比例函数与一次函数、几何知识、三角知识等综合编拟的解答题，丰富了压轴题的形式和内容.

　五、布置作业

　1．教材p130中4，5，6

　2．选做：p130中b1，2

　六、板书设计

　已知：如图，一次函数的图像经过第一、二、三象限，且与反比例函数的图像交于a、b两点，与y轴交于点c，与x轴交于点d。 。

　（1）求反比例函数的解析式；

　（2）设点a的横坐标为m， 的面积为s，求s与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

　（3）当 的面积等于 时，试判断过a、b两点的抛物线在x轴上截得的线段长能否等于3。如果能，求此时抛物线的解析式；如果不能，请说明理由。

　解：（1）过点b作 轴于点h。

　 　在rt 中，

　 　由勾股定理，得

　 　又 ，

　 　∴  点b（－3，－1）。

　 　设反比例函数的解析式为

　 　 。

　 　∵  点b在反比例函数的图像上，

　 　 。

　 　∴  反比例函数的解析式为 。

　（2）设直线ab的解析式为 。

　 　由点a在第一象限，得 。

　 　又由点a在函数 的图像上，可求得点a的纵坐标为 。

　 　∵  点b（－3，－1），点 ，

　 　∴    解关于 、 的方程组，得

　 　∴  直线ab的解析式为 。

　 　令  。

　 　求得点d的横坐标为 。

　 　过点a作 轴于点g

　 　由已知，直线经过第一、二、三象限，

　 　∴  ，即 。

　 　由此得 

　 　∴  。

　 　即  。

　（3）过a、b两点的抛物线在x轴上截得的线段长不能等于3。

　证明如下：

　 　 。

　 　由 ，

　 　得 

　 　解得 。

　 　经检验， 都是这个方程的根。

　 　 ，

　 　∴  不合题意，舍去。

　 　∴  点a（1，3）。

　 　设过a（1，3）、b（－3，－1）两点的抛物线的解析式为 。

　 　∴    由此得

　 　即  。

　 　设抛物线与x轴两交点的横坐标为 。

　 　则 

　 　令 

　 　则  。

　 　即  。

　 　整理，得  。

　 　 ，

　 　∴  方程 无实数根。

　因此过a、b两点的抛物线在x轴上截得的线段长不能等于3。